TRIGONOMETRIE

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
syne1
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TRIGONOMETRIE

Message par syne1 » 30 décembre 2021, 10:17

Bonjour job, je voudrais de l'aide pour cet exercice. MERCI D'AVANCE.

1) Calculer $arcsin(sin\frac{18π}{5})$
2) Vérifier que $cos(arcsinx)≥0$
3) Montrer que $cos(arcsinx)=\sqrt{1-x^{2}}$
4) Résoudre l'équation : $arcsinx=arcsin\frac{2}{5}+arcsin\frac{3}{5}$

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Job
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Re: TRIGONOMETRIE

Message par Job » 30 décembre 2021, 16:20

Bonjour Syne1

1) La fonction $\arcsin$ a des valeurs dans $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
$\frac{18\pi}{5} -4\pi =-\frac{2\pi}{5}$ donc $\arcsin (\sin \frac{18\pi}{5})=-\frac{2\pi}{5}$

2) $\arcsin x \in [-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]$ et sur cet intervalle le cosinus est positif.

3) Je pose $z=\arcsin x$ et $y=\cos z$
$z=\arcsin x$ donc $z\in [-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]$ et $x=\sin z$
$x^2+y^2=\sin^2 z +\cos^2 z =1$ et sur $ [-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}], y\geq 0$
donc $y=\sqrt{1-x^2}$

4) Je pose $a=\arcsin \frac{2}{5}$ et $b=\arcsin \frac{2}{5}$ soit $\arcsin x =a+b$
$a\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ ; $\sin a =\frac{2}{5} $ donc $\cos a = \sqrt{1-\frac{4}{25}}= \sqrt{\frac{21}{25}}$
$a\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ; $\sin b =\frac{3}{5}$ donc $\cos b =\sqrt{1-\frac{9}{25}} =\sqrt {\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$

$x=\sin(a+b)=\sin a \cos b +\sin b \cos a$
$x=\frac{2}{5} \times \frac{4}{5} + \frac{3}{5} \times \sqrt{\frac{21}{25}}$

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