trigo

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
syne1
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trigo

Message par syne1 » 28 décembre 2021, 10:48

Bonjour job, je voudrais de l'aide pour cet exercice. MERCI D'AVANCE.

Soit a, b et c trois réels tels que $a+b+c=π$
1) a) Démontrer que $tan(a+b)=-tanc$
b) Prouver que $tana+tanb+tanc=tana×tanb×tanc$
c) En déduire la valeur exacte de tan$\frac{5π}{12}$
2) On donne tan$\frac{π}{8}=\sqrt{2}-1$
a) Déterminer les valeurs exactes de : $tan\frac{9π}{8}, sin\frac{π}{8} et \cos\frac{5π}{8}$
b) Déterminer les valeurs exactes de ∶ $arccos\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{4} \right)$, $tan(arctan(\sqrt{2}-1))$ et $arctan(tan\frac{-23π}{8})$

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Re: trigo

Message par Job » 28 décembre 2021, 17:19

Bonjour syne1

1) a) $\tan c =\tan [\pi -(a+b)] =-\tan (a+b)$

b) $\tan (a+b)=\frac{\tan a +\tan b}{1-\tan a \tan b}=\tan (\pi -c) =-\tan c$

Donc $\tan a +\tan b =-\tan c (1-\tan a +\tan b)$ soit

$\tan a +\tan b +\tan c = \tan a \tan b \tan c$

c) Avec $a=\frac{\pi}{3} , b=\frac{\pi}{4} , c=\frac{5\pi}{12}$ on a $a+b+c=\pi$

On applique l'égalité de la question b) :
$\sqrt 3 + 1 +\tan \frac{5\pi}{12} =\sqrt 3 \times 1 \times \tan\frac{5\pi}{12}$
$\sqrt 3 +1=(\sqrt 3 -1)\tan \frac{5\pi}{12}$
$\tan \frac{5\pi}{12} =\frac{\sqrt 3+1}{\sqrt 3-1}=\frac{(\sqrt 3+1)^2}{2}=2+\sqrt 3$

Je ferai la seconde question demain

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Re: trigo

Message par Job » 29 décembre 2021, 15:11

Suite

2) a) $\frac{9\pi}{8}=\frac{\pi}{8} +\pi$ donc $\tan \frac{9\pi}{8} =\tan \frac{\pi}{8}=\sqrt 2 -1$

$\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{8}}=\frac{\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2 \frac{\pi}{8}}{\cos^2\frac{\pi}{8}}=\tan^2\frac{\pi}{8}+1 =(\sqrt 2-1)^2 +1 =4-2\sqrt 2$
Donc $\cos^2 \frac{\pi}{8}=\frac{1}{4-2\sqrt2}=\frac{4+2\sqrt 2}{8}=\frac{2+\sqrt 2}{4}$

$\sin^2 \frac{\pi}{8}=1-\cos^2 \frac{\pi}{8}=\frac{4-2-\sqrt 2}{4}=\frac{2-\sqrt 2}{4}$

$\sin \frac{\pi}{8} =\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2}$

$\cos \frac{5\pi}{8}=\cos (\frac{\pi}{8} +\frac{\pi}{2})-\sin \frac{\pi}{8}=-\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2}$

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Re: trigo

Message par Job » 29 décembre 2021, 15:46

b) Pour le premier calcul, je pense qu'il y a une erreur de texte. Le dénominateur doit être 2.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2})=\frac{\pi}{8}$ donc $\arccos (\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2})=\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{8} =\frac{3\pi}{8}$

$\tan (\arctan(\sqrt 2-1))=\tan \frac{\pi}{8}=\sqrt 2-1$

$-\frac{23\pi}{8}+3\pi = \frac{\pi}{8}$ donc $\tan (-\frac{23\pi}{8})=\tan \frac{\pi}{8}$

$\arctan (\tan \frac{\pi}{8})=\frac{\pi}{8}$

syne1
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Re: trigo

Message par syne1 » 30 décembre 2021, 09:50

Merci beaucoup job.

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