equation diophantienne

[mt2sr]

Bonsoir,
je ne sais pas comment prouver $b_0$ minimal

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[Job]

Bonsoir

Puisque $b_0$ doit appartenir à ${\mathbb N}*$, $b_0=1$ répond à la question. On a alors $a_0=2$ et $h_0=2+\sqrt 3$

[mt2sr]

Ah oui, il faut déterminer $h_0$
pour d) i) il faut distingué h=1 h>1 et h<1 mais comment construire n?

[mt2sr]

Ah oui, il faut déterminer $h_0$
pour d) i) il faut distingué h=1 h>1 et h<1 mais comment construire n?

[Job]

Je distingue 3 cas : a) $h\geq h_0$ ; b) $1\leq h <h_0$ ; c) $0<h<1$

a) $h\geq h_0$ : $\exists n \in {\mathbb N}^*\ /\ h_0^n\leq h <h_0^{n+1}$

b) $1\leq h<h_0$ : alors $h=1$ et $h_0^0\leq h <h_0^1$

c) $0<h<1$ alors $h^{-1}\in H^+$ et $h^{-1}>1$. 3 sous-cas :
* $1<h^{-1}<h_0$ alors $h^{-1}=1$ et $h=1$ exclu car $h<1$
* $h^{-1}=h_0$ alors $h=h_0^{-1}$ donc $h_0^{-1}\leq h <h_0^{0}$
* $h^{-1}>h_0$ alors $\exists n\in {\mathbb N}^*\ /\ h_0^n<h^{-1}\leq h_0^{n+1}$ donc $h_0^{-n-1}\leq h<h_0^{-n}$

$h_0^n\leq h<h_0^{n+1} \Longleftrightarrow 1\leq h\times h_0^{-n}<h_0$
De c) ii), on déduit $h\times h_0^{-n}=1$ donc $h=h_0^n$

[mt2sr]

donc
H+ est un sous groupe cyclique engendré pas h0
et pour les solutions il faut calculer h_0^n sous la forme a+b*rac(3) et considérer les couple (a,b) \in N2 n'est-ce pas?

[Job]

Pour $n\in {\mathbb N}$, en posant $h_0^n=a_n+b_n\sqrt 3$, j'ai obtenu :
$\left\{\begin{array}{r c l}a_n&=&\frac{1}{2} [(2+\sqrt 3)^n +(2-\sqrt 3)^n] \\ b_n&=&\frac{1}{2\sqrt 3}[(2+\sqrt 3)^n -(2-\sqrt 3)^n)] \end{array}\right.$

$h_0^{-n}=\frac{1}{a_n+b_n\sqrt 3}=a_n-b_n\sqrt 3$