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Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
Thamirah17
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Message par Thamirah17 » 28 novembre 2021, 05:50

Bonjour,
J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît..
Je vous remercie d’avance

Exercice 1
1. Montrer que 4^n est congru à 1+3n modulo 9 (ou pourra utiliser la formule du binôme).
2. En déduire les restes possibles de 4^n dans la division euclidienne par 9 selon les valeurs de n appartenant à N.

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Job
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Re: Congruences

Message par Job » 28 novembre 2021, 17:06

Bonjour Thamirah

1) 4 =3 + 1 donc $\displaystyle 4^n=(3+1)^n =\sum_{k=0}^n {n\choose k} 3^k 1^{n-k}=1+3n+\sum_{k=2}^n {n\choose k} 3^k$

$\displaystyle = 1+3n +9 \sum_{k=2}^n {n\choose k}3^{k-2}$

Donc $4^n\equiv 1+3n [ 9]$

2) Si $n\equiv 0 [3]$ alors $3n+1\equiv 1\ [9]$
Si $n\equiv 1 [3]$ alors $3n+1\equiv 4\ [9]$
Si $n\equiv 2 [3]$ alors $3n+1\equiv 7\ [9]$

Les restes possibles sont donc 1, 4 et 7.

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