décomposition en élément simple de fractions rationnelles

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lilie
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décomposition en élément simple de fractions rationnelles

Message par lilie » 19 novembre 2021, 10:01

bonjour, pourriez vous m’aider sur cette question:
on me demande : Décomposer en éléments simple X^3/ X^2-1

merci beaucoup

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Job
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Re: décomposition en élément simple de fractions rationnelles

Message par Job » 19 novembre 2021, 12:09

Bonjour

Puisque le numérateur est de degré 3 et le dénominateur de degré 2 on a une partie entière de degré 1.

$\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}=\frac{x(x^2-1) +x}{x^2-1}=x+\frac{x}{x^2-1}$

On doit avoir $\displaystyle \frac{x}{x^2-1} =\frac{a}{x+1} +\frac{b}{x-1}$
$\displaystyle =\frac{a(x-1)+b(x+1)}{x^2-1}=\frac{(a+b)x+b-a}{x^2-1}$

Par identification : $a+b=1$ et $a-b=0$ donc $a=b=\frac{1}{2}$

On a donc $\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1} =x +\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x-1)}$

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