Bonjour,
J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît.
Merci en avance
Exercice.
Soit P le polynôme défini par P (X) = X^6 - 4X^5 + 7X^4 - 8X^3 + 7X^2 + aX + b.
1. Déterminer les réels a et b tels que 1 soit racine multiple de P.
2. Quel est alors l’ordre m de multiplicité de 1 ? Factoriser alors P sur R[X] et C[X].
Exo polynômes
Re: Exo polynômes
Bonjour Thamirah
1) 1 est racine multiple si, au moins $P(1)=0$ et $P'(1)=0$
$P'(X)=6X^5-20X^4+28X^3-24X^2+14 X +a$
$P(1)=0 \Longleftrightarrow 3+a+b=0$
$P'(1)=0 \Longleftrightarrow 4+a=0$
On obtient donc $a=-4$ et $b=1$
2) On calcule aussi $P"(X)$ et on obtient que $P"(1)=0$
On calcule $P^{(3)}(X) $ et on obtient $P^{(3)}(1)=0$
Par contre $P^{(4)} (1)\neq 0$
L'ordre de multiplicité de 1 est donc 4 et donc $P(X)$ est factorisable par $(X-1)^4$
On factorise (méthode des coefficients indéterminés ou division de polynômes) et on obtient :
$P(X)=(X-1)^4 (X^2+1)$ dans $\mathbb R [X]$
$P(X)=(X-1)^4(X+i)(X-i)$ dans $\mathbb C[X]$
1) 1 est racine multiple si, au moins $P(1)=0$ et $P'(1)=0$
$P'(X)=6X^5-20X^4+28X^3-24X^2+14 X +a$
$P(1)=0 \Longleftrightarrow 3+a+b=0$
$P'(1)=0 \Longleftrightarrow 4+a=0$
On obtient donc $a=-4$ et $b=1$
2) On calcule aussi $P"(X)$ et on obtient que $P"(1)=0$
On calcule $P^{(3)}(X) $ et on obtient $P^{(3)}(1)=0$
Par contre $P^{(4)} (1)\neq 0$
L'ordre de multiplicité de 1 est donc 4 et donc $P(X)$ est factorisable par $(X-1)^4$
On factorise (méthode des coefficients indéterminés ou division de polynômes) et on obtient :
$P(X)=(X-1)^4 (X^2+1)$ dans $\mathbb R [X]$
$P(X)=(X-1)^4(X+i)(X-i)$ dans $\mathbb C[X]$