Math-Aide

Bonjour Monsieur, pouvez vous m'aider svp a faire ce sujet, je ne sais pas vraiment comment procéder ? Meerci par avance

Bonjour

La fonction nulle appartient à $I$.
Soit $f$ et $g$ 2 fonctions de $I$
$\forall x \in {\mathbb R}\ (af+bg)(-x)=af(-x)+bg(-x)=-af(x)-bg(x)=-(af+bg)(x)$ donc $(af+bg)\in I$

On démontre de même que $P$ est un sous-espace vectoriel.

Soit $f\in I\cap P$, $\forall x \in {\mathbb R},\ f(-x)=-f(x)$ et $f(-x)=f(x)$
Donc $\forall x \in {\mathbb R}, -f(x)=f(x)$ soit $f(x)=0$.
$f$ est donc la fonction nulle.

$I+P\subset E$
Réciproquement, il s'agit de montrer que toute fonction $f$ est la somme d'une fonction impaire $u\in I$ et d'une fonction paire $v\in P$
Analyse : Soit $f(x)=u(x)+v(x)$, $f(-x)=u(-x)+v(-x)=-u(x)+v(x)$
$u(x)=\frac{1}{2} ( f(x)-f(-x))$ et $v(x)=\frac{1}{2} (f(x)+f(-x))$

Synthèse : Toute fonction $f$ est donc la somme d'un fonction impaire définie pour tout réel $x$ par $u(x)=\frac{1}{2} (f(x)-f(-x))$ et d'une fonction paire définie pour tout réel $x$ par $v(x)=\frac{1}{2} (f(x)+f(-x))$

merci beaucoup ! or je ne comprends pas tout à fait comment on arrive aux expressions de u(x) et v(x)

$f(x)=u(x)+v(x)$ et $f(-x)=-u(x)+v(x)$

En soustrayant membre à membre les 2 égalités on a donc $f(x)-f(-x)=2u(x)$ et en les ajoutant on a $f(x)+f(-x) =2 v(x)$

A partir de la fonction $f$ connue, on définit ainsi une fonction $u$ impaire et une fonction $v$ paire dont $f$ est la somme.

en effet ! merci beaucoup