Équation différentielle

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Melinsjah
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Équation différentielle

Message par Melinsjah » 12 avril 2021, 22:49

Bonsoir,
j’aurai besoin d’expliquation sur cet exercice j’ai réussi la 1e et la 2e
Pour la 3e je trouve exp(-x/2)*(2a)=(x-3)e^(-x/2)
Et à partir de la je suis coincée
Pièces jointes
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Re: Équation différentielle

Message par Job » 14 avril 2021, 14:05

Bonjour

4. $y'-y=\sin x +2\cos x$

L'équation homogène a pour solutions $y=\lambda e^x$ On cherche une solution particulière sous la forme $y=a\sin x +b\cos x$

$y'-y=(a-b)\cos x +(-a-b)\sin x$

On résout le système $\left\{\begin{array}{rcl}-a-b&=&1\\a-b&=&2\end{array} \right.$

On obtient ainsi une solution particulière qu'on ajoute aux solutions de l'équation homogène.

5. $y'+y=\sinh x$

Les solutions de l'équation homogène : $y=\lambda e^{-x}$

Par la méthode de variation de la constante. : $y'=•lambda'e^{-x}-\lambda e^{-x}$

$y'+y=\lambda'e^{-x}$ et $\sinh x =\frac{1}{2} (e^x-e^{-x})$

$\lambda'e^{-x}=\frac{1}{2} e^x $ conduit à $\lambda'=\frac{1}{2} e^{2x}$ soit $\lambda =\frac{1}{4} e^{2x}$

$\lambda'e^{-x}=-\frac{1}{2} e^{-x}$ \conduit à $\lambda'=-\frac{1}{2} $ soit $\lambda = -\frac{1}{2} x$

On a donc une solution particulière : $y=(\frac{1}{4} e^{2x}-\frac{1}{2} x) e^{-x}$

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Re: Équation différentielle

Message par Job » 14 avril 2021, 14:22

6. $y'+y=\frac{1}{1+e^{2x}}$

Solutions de l'équation homogène $y=\lambda e^{-x}$

Par la méthode de variation de la constante on obtient $y'+y=\lambda'e^{-x}$

$\lambda' e^{-x}=\frac{1}{1+e^{2x}} $ soit $\lambda'=\frac{e^x}{1+e^{2x}}$

Donc $\lambda = \arctan(e^x)$

Solution particulière $y=e^{-x} \arctan (e^x)$

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