Trigonalisation d'une matrice
Publié : 24 mars 2021, 15:38
Bonjour à tous,
J'essaie de trigonaliser la matrice suivante :
$M = \begin{pmatrix} -1 & \alpha & -\alpha \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
J'ai calculé le polynôme caractéristique qui vaut $-(\lambda + 1)^{3}$ donc $-1$ est une valeur propre triple de M.
Pour le sous-espace vectoriel $E_{-1}$, je trouve
$E_{-1} = Vect\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\right\} $
Mon problème est le suivant : pour trigonaliser la matrice M, il faut déterminer trois vecteurs $u_{1}$, $u_{2}$ et $u_{3}$ formant une famille libre, tels que (d'après la correction) :
\begin{array}{rcr}
Mu_{1} & = & -u_{1} \\
Mu_{2} & = & -u_{2} + u_{1} \\
Mu_{3} & = & -u_{3} - \alpha u_{2}\\
\end{array}
Je comprends pourquoi il y a le signe $-$ car la valeur propre est égale à $-1$ mais pourquoi devons-nous faire $ + u_{1}$ et $- \alpha u_{2}$ pour les lignes suivantes? Pourquoi utiliser ces coefficients et non d'autres?
Merci d'avance pour votre réponse!
J'essaie de trigonaliser la matrice suivante :
$M = \begin{pmatrix} -1 & \alpha & -\alpha \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
J'ai calculé le polynôme caractéristique qui vaut $-(\lambda + 1)^{3}$ donc $-1$ est une valeur propre triple de M.
Pour le sous-espace vectoriel $E_{-1}$, je trouve
$E_{-1} = Vect\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\right\} $
Mon problème est le suivant : pour trigonaliser la matrice M, il faut déterminer trois vecteurs $u_{1}$, $u_{2}$ et $u_{3}$ formant une famille libre, tels que (d'après la correction) :
\begin{array}{rcr}
Mu_{1} & = & -u_{1} \\
Mu_{2} & = & -u_{2} + u_{1} \\
Mu_{3} & = & -u_{3} - \alpha u_{2}\\
\end{array}
Je comprends pourquoi il y a le signe $-$ car la valeur propre est égale à $-1$ mais pourquoi devons-nous faire $ + u_{1}$ et $- \alpha u_{2}$ pour les lignes suivantes? Pourquoi utiliser ces coefficients et non d'autres?
Merci d'avance pour votre réponse!