suite methode newton

[noir d'encre]

Bonjour,
J'ai plus ou moins réussi ces questions :
B . démontrer que la suite u converge. Dans la suite, on note l=$\lim_{n\to\infty} Un$
C.demontrer que l${\ge}$0
D.demontrer que g(l)=l
E . finalement que vaut l?
J'ai fais:
B.on a Un+1${\le} $Un et Un${\ge} $$\sqrt{a}$. La suite est décroissante et est minorée par $\sqrt{a}$, donc elle converge.
C.Un${\ge} $$\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$${\ge}$0 dc l${\ge}$0
voilà je sais pas si j'ai bien répondu et après je voyais pas trop Si vous pouviez m'aider, d'avance merci

[Job]

Bonsoir

D) $u_{n+1}=g(u_n)$.
$\lim u_{n+1}=l$ et la fonction $g$ étant continue, $\lim g(u_n)=g(l)$. Par conséquent $l=g(l)$.

E) Il suffit de résoudre l'équation $g(x)=x$ pour obtenir la valeur de $l$.
On obtient $l=\sqrt a$.

[noir d'encre]

D'accord merci beaucoup

[noir d'encre]

Par contre que va-t'il se passer du coup si uo ${\in}$ R-* ?

[Job]

Peux-tu préciser quelle est la fonction $g$ donnée dans le texte.

[noir d'encre]

Bonjour,
g(x)=x-$\frac{f(x)} {f'(x)}$ je pense que u est croissante sur cet intervalle et converge vers -$\sqrt{a}$ mais je suis pas sûre...

[Job]

Quelle est la fonction $f$ ?

[noir d'encre]

Ah oui pardon f(x)=${x^2} $-a

[Job]

$u_{n+1} =g(u_n)=\frac{1}{2} (u_n+\frac{a}{u_n})$
$a$ étant strictement positif, par une récurrence immédiate si $u_0<0$ tous les termes de la suite sont strictement négatifs.

En étudiant le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]-\infty , 0[$ on obtient que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty , -\sqrt a[$ et strictement décroissante sur l'intervalle $]-\sqrt a , 0[$ et $g(-\sqrt a)=-\sqrt a$.

* Un cas particulier : si $u_0=-\sqrt a$ alors la suite est constante égale à $-\sqrt a$.

* Si $u_0<-\sqrt a$ alors on démontre par récurrence que tous les termes sont strictement inférieurs à $-\sqrt a$. En effet si $u_n<-\sqrt a$, la fonction $g$ étant strictement croissante sur $]-\infty , -\sqrt a[$ conserve l'ordre donc $g(u_n)<g(-\sqrt a)$ soit $u_{n+1}<-\sqrt a$.
On a toujours $u_{n+1}-u_n=\frac{a-u_n^2}{2u_n}=\frac{(\sqrt a-u_n)(\sqrt a +u_n)}{2u_n}$
$\sqrt a -u_n>0\ ;\ \sqrt a+u_n<0\ ;\ u_n<0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$. La suite est donc croissante.
Comme elle est majorée par $-\sqrt a$, elle converge et sa limite est solution de l'équation $g(x)=x$ qui a comme solutions $\pm \sqrt a$. Comme tous les termes de la suite sont négatifs, la limite est $-\sqrt a$.

* Si $-\sqrt a <u_0<0$ alors $u_1<-\sqrt a$. En effet Sur $]-\sqrt a , 0[$ la fonction $g$ est strictement décroissante donc inverse l'ordre donc $g(-\sqrt a)>g(u_0)$ soit $-\sqrt a >u_1$.
À partir du rang 1 on est donc ramené au cas précédent et par conséquent la suite converge vers $-\sqrt a$.

[noir d'encre]

D'accord merci beaucoup