Exos courbes paramétrées

[Thamirah17]

Bonjour,
J’ai besoin de votre aide pour ces deux exercices s’il vous plaît.
Merci

[Job]

Bonjour Thamirah

Exercice 1

$x'=-2\sin (t) -2\sin (2t)=-2\sin (t)-4\sin (t) \cos (t) =-2\sin (t) (1+2\cos (t)$

$y'=2\cos (t) -2\cos (2t)=2(-2\cos^2(t) +\cos (t)+1)=2(1-\cos (t) )(1+2\cos (t))$

$s'^2=x'^2+y'^2=4\sin^2(t)(1+2\cos (t))^2 +4(1-\cos t)^2(1+2\cos(t))^2$
$=4(1+2\cos (t))^2(\sin^2(t)+\cos^2(t)+1-2\cos (t))$
$=8(1+2\cos (t))^2(1-\cos (t))=16(1+2\cos (t))^2\sin^2(\frac{t}{2})$

$s'=4|1+2\cos (t)|\times |\sin (\frac{t}{2})|$

$\displaystyle \tan (\varphi)=\frac{y'}{x'}=-\frac{1-\cos (t)}{\sin (t)}=-\frac{2\sin^2(\frac{t}{2})}{2\sin(\frac{t}{2})\cos (\frac{t}{2})}=-\tan(\frac{t}{2})$

donc $\varphi =-\frac{t}{2}\ [\pi]$ et $\varphi'=-\frac{1}{2}$

$R=\frac{s'}{\varphi'}=-8|1+2\cos (t)| \times |\sin (\frac{t}{2})|$