methode de newton

[noir d'encre]

Bonjour,
j'ai un dm sur comment calculer les racines carrées avec la méthode de Newton et je bloque sur cette question :
Supposons dans cette question uo ${\ge}$ $\sqrt{a}$
Demontrons que ${\forall}$ n ${\in}$ N :
1. Un ${\ge} $ $\sqrt{a} $
2. Un+1 ${\le} $Un
d'avance merci,

[Job]

Bonjour

1) On fait une démonstration par récurrence
Par hypothèse, l'inégalité est vérifiée au rang 0.
Supposons l'inégalité vérifiée à un rang $n$.
$u_{n+1}-\sqrt a =\frac{1}{2} (u_n+\frac{a}{u_n})-\sqrt a =\frac{1}{2} (\frac{u_n^2 +a -2u_n\sqrt a}{u_n})=\frac{1}{2} (\frac{(u_n-\sqrt a)^2}{u_n})$
$(u_n-\sqrt a)^2\geq 0$ et $u_n\geq \sqrt a>0$ donc $u_{n+1}-\sqrt a\geq 0$ soit $u_{n+1}\geq \sqrt a$

2) $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2} (u_n+\frac{a}{u_n}-2u_n)=\frac{1}{2} (\frac{a}{u_n} -u_n)=\frac{1}{2} (\frac{a-u_n^2}{u_n})$
D'après la question 1) $u_n\geq \sqrt a$ donc $u_n^2\geq a$ soit $a-u_n^2\leq 0$
$u_{n+1}-u_n\leq 0$ la suite est donc décroissante.

[noir d'encre]

D'accord, merci beaucoup

[noir d'encre]

Bonjour,
il y a quand même quelque chose que je ne comprends pas:
pourquoi pour 1. Un+1=$\frac{1} {2} $ (Un+$\frac{a} {Un} $) ?

[Job]

Bonjour,
il y a quand même quelque chose que je ne comprends pas:
pourquoi pour 1. Un+1=$\frac{1} {2} $ (Un+$\frac{a} {Un} $) ?

Dans la méthode de Newton pour calculer une racine carrée, la suite $(u_n)$ est définie de cette manière. Avez-vous une autre définition de la suite ?

[noir d'encre]

Ah oui c'est vrai, j'ai une autre fonction mais je retombe bien sur la même chose, merci

[noir d'encre]

De même l'équation de la tangente à Cf en uo c'est bien .y=f(uo)+(x-a)f'(uo)?
Et pour exprimer u1 en fonction de uo cela donne: .y=f(uo)+(u1-a)f'(uo) ?
D'avance merci