Espace vectoriel

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Thamirah17
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Espace vectoriel

Message par Thamirah17 » 13 février 2021, 17:26

Bonjour,
J’ai besoin de votre aide pour ces deux exercices s’il vous plaît.
Merci d’avance

Ex 1:
Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E. Montrer que si F est ouvert, alors F=E.

Ex 2:
Soit (E, II.II) un espace vectoriel normé. Soit B la boule unité ouverte et B(barre) la boulé unité fermée de E. Montrer que pout tout x€B(barre), ou bien x€B ou bien il existe une suite (x(n)) de B qui converge vers x.
On vient alors de démontrer que la boule fermée et l’adhérence de la boule ouverte.

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Job
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Re: Espace vectoriel

Message par Job » 15 février 2021, 15:26

Bonjour Thamirah

Exercice 1

F contient 0. Si F est ouvert alors il existe un réel $r$ tel que $B(0,r)\subset F$

$\forall u \in E, u\neq 0, y=\frac{r u}{2||u||}\in B(0,r)$

Puisque F est stable par multiplication par un scalaire, $u=\frac{2||u||}{r} y \in F$

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