Ex:
Soient A et B appartenant à Mn(R) deux matrices inversibles telles que A +B est inversible.
Montrer que A^-1 + B^-1 est inversible et qu'on a :
(A^-1 + B^-1)^-1 = B(A+B)^-1 A
= A(A+B)^-1 B
Exo matrices 1
Re: Exo matrices 1
Bonjour
$A^{-1}(B+A)B^{-1}=(A^{-1}B+I_n)B^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
Donc $A^{-1}+B^{-1}$ produit de 3 matrices inversibles est inversible.
et $(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=[A^{-1}(B+A)B^{-1}]^{-1}=B(B+A)^{-1}A$
On a aussi $B^{-1}(A+B)A^{-1}= (B^{-1}A+I_n)A^{-1}=B^{-1}+A^{-1}$
donc $(B^{-1}+A^{-1})^{-1}=[B^{-1}(A+B)A^{-1}]^{-1}=A(A+B)^{-1}B$
$A^{-1}(B+A)B^{-1}=(A^{-1}B+I_n)B^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
Donc $A^{-1}+B^{-1}$ produit de 3 matrices inversibles est inversible.
et $(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=[A^{-1}(B+A)B^{-1}]^{-1}=B(B+A)^{-1}A$
On a aussi $B^{-1}(A+B)A^{-1}= (B^{-1}A+I_n)A^{-1}=B^{-1}+A^{-1}$
donc $(B^{-1}+A^{-1})^{-1}=[B^{-1}(A+B)A^{-1}]^{-1}=A(A+B)^{-1}B$