Math-Aide

Bonjour, je n'arrive pas à trouver la somme classique de ces sommes suivantes pouvez vous m'aider?
somme de k=1 jusqu'à n de k. et somme de k=1 jusqu' à n de k^2

aussi comment démontrer que pour tout entier n supérieur ou égale à p, avec p appartenant à N fixé, la somme de k=p jusqu' à n de p parmi k= p+1 parmi n+1

merci par avance

Bonjour

1) La suite des entiers est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1 dons en appliquant la somme de $n$ termes d'une suite arithmétique, on a : $\displaystyle \sum_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)}{2}$

2) $(k+1)^3=k^3 +3k^2+3k +1$ soit $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$
En écrivant cette égalité pour $k=1$ à $n$, on a :
$2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1 +1$
$3^3-2^3=3\times 2^2 +3\times 2 +1$
$4^3-3^3=3\times 3^2 +3\times 3 +1$
..............................................
$(n+1)^3-n^3=3\times n^2 +3\times n +1$

En additionnant membre à membre ces $n$ égalités on obtient :
$(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+\cdots +n^2) +3(1+2+\cdots +1)+n$

$\displaystyle 3\sum_{k=1}^n k^2=(n+1)^3-1-3\sum_{k=1}^n k-n$
En utilisant le résultat précédent :
$\displaystyle 3\sum_{k=1}^n k^2= (n+1)^3-(n+1)-3\times \frac{n(n+1)}{2})$
$=(n+1)(n^2+2n)-\frac{3n(n+1)}{2})=n(n+1)(n+2-\frac{3}{2})$

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3) On utilise la formule du triangle de Pascal : ${k\choose p}+{k\choose p+1}={k+1\choose p+1}$

Donc $\displaystyle {k\choose p}={k+1\choose p+1}-{k\choose p+1}$

On écrit cette égalité pour $k=p$ à $n$.

$\displaystyle {p\choose p}={p+1\choose p+1}-0$
$\displaystyle {p+1\choose p}={p+2\choose p+1}-{p+1\choose p+1}$
$\displaystyle {p+2\choose p}={p+3\choose p+1}-{p+2\choose p+1}$
.................................................................................
$\displaystyle {n\choose p}={n+1\choose p+1}-{n\choose p+1}$

En additionnant membre à membre :
$\displaystyle \sum_{k=p}^n {k\choose p}={n+1\choose p+1}-0$