Polynômes

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Job
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Polynômes

Message par Job » 03 janvier 2021, 15:19

1) Polynômes P de degré 3 tels que P soit divisible par $X+1$ et $P'$ divisible par $(X-1)^2$

Si $P$ est de degré 3 alors $P'$ est de degré 2.
Comme $P'$ est divisible par $(X-1)^2$ il est de la forme $a(X-1)^2$
Donc $P(X)=\frac{1}{3} a(X-1)^3 +b$
$P(-1)=0$ donc $\frac{1}{3} a (-2)^3+b=0$ donc $b=\frac{8}{3} a$

Les polynômes qui répondent à la question sont :
$P(X)=\frac{1}{3} a(X-1)^3 +\frac{8}{3} a=\frac{1}{3} a [(X-1)^3 +8]$

2) PGCD de $P(X)=(X-1)(X^2-1)(X^3-1)$ et $Q(X)=(X^8-1)^2$

Il faut factoriser les polynômes en produit de facteurs irréductibles.
Les facteurs irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 qui n'ont pas de racine.

$P(X)=(X-1)(X-1)(X+1)(X-1)(X^2+X+1)=(X-1)^3(X+1)(X^2+X+1)$

$Q(X)=(X^4-1)^2(X^4+1)^2=(X^2-1)^2(X^2+1)^2(X^4+1)=(X-1)^2(X+1)^2(X^2+1)^2(X^4+1)$

$X^4+1=X^4+2X^2+1-2X^2=(X^2+1)^2-(X\sqrt 2)^2=(X^2+X\sqrt 2+1)(X^2-X\sqrt 2+1)$

Donc $Q(X)=(X-1)^2(X+1)^2(X^2+1)^2(X^2+X\sqrt 2+1)(X^2-X\sqrt 2+1)$

PGCD : $(X-1)^2(X+1)$

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