fonction dérivable

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
gigi10
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fonction dérivable

Message par gigi10 » 19 novembre 2020, 12:28

Bonjour Monsieur Job :D
est-ce possible de m'aider svp ?

Déterminer les fonctions f dérivables sur R telles que pour tout x appartenant à R, f'(x) = f(pi-x)

merci beaucoup !!

gigi10
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Re: fonction dérivable

Message par gigi10 » 20 novembre 2020, 13:08

Bonjour monsieur Job,

j'ai donc dis que l'égalité est dérivable car elle est composée de deux fonctions dérivables.
Ensuite, j'ai calculer la dérivé seconde et j'obtient cette équation différentielle du second ordre : y''+y=0 or après je ne sait plus quoi faire je suis bloquée...

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Re: fonction dérivable

Message par Job » 20 novembre 2020, 14:21

Bonjour

Je poursuis ce que vous avez commencé.

L'équation caractéristique de l'équation différentielle du second ordre est $r^2+1=0$ dont les solutions sont $\pm i$
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions $f(x)=\lambda \cos x +\mu \sin x$

En revenant à la question initiale, on a alors : $f'(x)=-\lambda \sin x +\mu \cos x$ et $f(\pi -x)=-\lambda \cos x +\mu \sin x$
On doit donc avoir $\mu =-\lambda$

Les fonctions répondant au problème sont les fonctions $f$ définies par $f(x)=\lambda (\cos x -\sin x)\ (\lambda \in {\mathbb R})$

gigi10
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Re: fonction dérivable

Message par gigi10 » 20 novembre 2020, 21:32

Merci Beaucoup ! en revanche je ne comprends pas pourquoi l'équation caractéristique est de la forme r*2+1=0 et pas r*2+r=0 ?

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Re: fonction dérivable

Message par Job » 21 novembre 2020, 16:18

Pour une équation différentielle du second ordre à coefficients constants : $y"+ay'+by=0$, l'équation caractéristique est $r^2+ar+b=0$

Ici on a $y"+y=0$ donc $a=0$ et $b=1$ donc l'équation caractéristique est $r^2+1=0$

gigi10
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Re: fonction dérivable

Message par gigi10 » 21 novembre 2020, 17:41

Je comprends mieux, merci beaucoup ! :D :D

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