J'essaye d'étudier les EV de fonctions en autodidacte et je bloque sur le problème suivant, tiré d'un livre d'algèbre linéaire en libre accès sur internet. Je n'ai pas d'éducation formelle en la matière, je vous prie de m'excuser par avance si le problème semble stupide ou si mes formulations sont imprécises, j'essaie d'apporter les informations qui me semble pertinentes mais si quelque chose manque, prière de me le notifier.
Le problème en question traite de l'EV des fonctions $f$ telles que $f : S = \{1,2\} \rightarrow \mathbb{R}$, auquel je suis incapable de donner un sens.
En premier lieu, je m'intéresse à l'indépendance linéaire de deux fonctions quelconques, par exemple $f(s) = s, g(s)=\sin(s)$. En considérant $s \in \mathbb{R}$, la combinaison linéaire $c_1f + c_2g = 0$ n'a que la solution triviale pour solution, ce qui prouvent l'indépendance de ces deux fonctions. Ce cas me semble simple, car l'équation doit être satisfaite pour toute valeur de $s$.
Toutefois, lorsque je considère l'ensemble $S = \{1,2\}$, je ne comprends plus ce qu'il faut faire :
- Si je veux démontrer que $f(1)$ et $f(2)$ sont linéairement dépendantes, il suffit de trouver un réel $a$ tel que $af(1)=f(2)$, ce que l'on trouvera toujours, donc $f(1)$ et $f(2)$ sont linéairement dépendantes.
- Si je veux démontrer que $f(1)$ et $g(2)$ sont linéairement indépendantes, je me heurte au raisonnement suivant : puisque $f(1)$ est cette fois-ci un nombre réel, et que $g(2)$ est lui aussi un réel, $f(1)$ et $g(2)$ seront de toute manière toujours linéairement dépendants, car il suffit de trouver un nombre quelconque pour exprimer le nombre $g(2)$ en fonction de $f(1)$...Ce n'est pas le cas si on considère les fonctions $f(s)$ et $g(s)$ pour $s \in \mathbb{R}$, mais en prenant $s \in S$, cela ne fonctionne plus.
Merci d'avance !