Espace vectoriel de fonctions définies sur un ensemble fini

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
bootleg
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Espace vectoriel de fonctions définies sur un ensemble fini

Message par bootleg » 18 novembre 2020, 15:07

Bonjour,

J'essaye d'étudier les EV de fonctions en autodidacte et je bloque sur le problème suivant, tiré d'un livre d'algèbre linéaire en libre accès sur internet. Je n'ai pas d'éducation formelle en la matière, je vous prie de m'excuser par avance si le problème semble stupide ou si mes formulations sont imprécises, j'essaie d'apporter les informations qui me semble pertinentes mais si quelque chose manque, prière de me le notifier.

Le problème en question traite de l'EV des fonctions $f$ telles que $f : S = \{1,2\} \rightarrow \mathbb{R}$, auquel je suis incapable de donner un sens.

En premier lieu, je m'intéresse à l'indépendance linéaire de deux fonctions quelconques, par exemple $f(s) = s, g(s)=\sin(s)$. En considérant $s \in \mathbb{R}$, la combinaison linéaire $c_1f + c_2g = 0$ n'a que la solution triviale pour solution, ce qui prouvent l'indépendance de ces deux fonctions. Ce cas me semble simple, car l'équation doit être satisfaite pour toute valeur de $s$.

Toutefois, lorsque je considère l'ensemble $S = \{1,2\}$, je ne comprends plus ce qu'il faut faire :
  • Si je veux démontrer que $f(1)$ et $f(2)$ sont linéairement dépendantes, il suffit de trouver un réel $a$ tel que $af(1)=f(2)$, ce que l'on trouvera toujours, donc $f(1)$ et $f(2)$ sont linéairement dépendantes.
  • Si je veux démontrer que $f(1)$ et $g(2)$ sont linéairement indépendantes, je me heurte au raisonnement suivant : puisque $f(1)$ est cette fois-ci un nombre réel, et que $g(2)$ est lui aussi un réel, $f(1)$ et $g(2)$ seront de toute manière toujours linéairement dépendants, car il suffit de trouver un nombre quelconque pour exprimer le nombre $g(2)$ en fonction de $f(1)$...Ce n'est pas le cas si on considère les fonctions $f(s)$ et $g(s)$ pour $s \in \mathbb{R}$, mais en prenant $s \in S$, cela ne fonctionne plus.
Je tourne en rond depuis des jours, toute aide est grandement appréciée.

Merci d'avance !

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Job
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Re: Espace vectoriel de fonctions définies sur un ensemble fini

Message par Job » 18 novembre 2020, 17:11

Bonjour

Soit $f$ et $g$ 2 fonctions de $S$ dans $\mathbb R$. Problème : sont-elles linéairement indépendantes ?

On considère la combinaison linéaire nulle : $af+bg=0$, ce qui signifie que pour tout $x$ de $S$, $af(x)+bg(x)=0$

On cherche des réels $a$ et $b$ vérifiant cette égalité

En particulier on doit avoir $\left\{ \begin{array}{rcl} af(1)+bg(1)&=&0\\af(2)+bg(2)&=&0\end{array}\right.$

Le couple $(a,b)=(0,0)$ est évidemment solution. Est-ce la seule solution ?

Le déterminant du système est : $\begin{vmatrix} f(1)&g(1)\\f(2)&g(2)\end{vmatrix}=f(1)g(2)-f(2)g(1)$

Si ce déterminant est non nul alors le système possède une solution unique et cette solution est (0,0). On en déduit que les fonctions $f$ et $g$ sont linéairement indépendantes.

Si le déterminant est nul, cela signifie soit que le système n'a pas de solution soit qu'il en a une infinité. C'est évidemment le second cas puisque (0,0) est solution. Il existe donc une combinaison nulle des fonctions $f$ et $g$ avec des coefficients non nuls. Par conséquent $f$ et $g$ ne sont pas linéairement indépendantes.
Un exemple pour ce cas : $f(1)=2; f(2)= 1; g(1)=6; g(2)=3$ On a $g=3f$

bootleg
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Re: Espace vectoriel de fonctions définies sur un ensemble fini

Message par bootleg » 18 novembre 2020, 17:37

Bonjour,

Mille mercis pour votre réponse !

À présent que j'ai compris le sens, je souhaiterais comprendre l'exercice de mon livre. La consigne demande de déterminer la dimension de l'espace résultant pour différents ensembles $S$ notamment :
  • Cas (a) : $S=\{1\}$
  • Cas (b) : Le cas que j'ai énoncé où $S=\{1,2\}$.
  • Cas (c) : $S=\{1,2,...,n\}$
Si, comme vous l'avez démontré, $f$ et $g$ ne sont pas linéairement indépendantes, cela signifie-t-il que dans chaque cas, la dimension de l'espace généré est de $1$ ? La correction de l'exercice indique pourtant que la dimension de l'espace généré est respectivement de $1$, $2$ et $n$.

Merci encore

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Job
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Re: Espace vectoriel de fonctions définies sur un ensemble fini

Message par Job » 19 novembre 2020, 16:13

Bonjour

La dimension de l'espace vectoriel généré est la dimension d'une base donc il faut déterminer la dimension d'une famille libre.

S ={1}
On considère une fonction $f$ non nulle.
Soit $g$ une autre fonction.
$f$ et $g$ sont définies par les réels $f(1)$ et $g(1)$.
Il existe un réel $a$ tel que $g(1)=af(1)$ donc $g$ appartient à l'espace vectoriel engendré par $f$.
L'espace vectoriel engendré est donc de dimension 1.

S={1,2}
On trouve 2 fonctions $f$ et $g$ telles que le déterminant (voir plus haut) est non nul donc $f$ et $g$ linéairement indépendantes.
Si on considère une troisième fonction $h$. On peut déterminer 2 réels $a$ et $b$ tels que :
$\left\{ \begin{array}{rcl}af(1)&+&bf(1)&=&h(1)\\af(2)&+&bf(2)&=&h(2)\end{array} \right.$
Le déterminant étant non nul, on en déduit que $h$ est une combinaison linéaire de $f$ et $g$.
$(f,g)$ forme alors une partie libre génératrice donc l'espace vectoriel engendré est de dimension 2

S={1,2,...,n}
C'est une généralisation du cas précédent.
On considère $n$ fonctions.
On obtient cette fois un système de $n$ équations à $n$ inconnues.
Avec un déterminant non nul, on obtient une famille libre et génératrice donc l'espace vectoriel engendré est de dimension $n$.

bootleg
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Re: Espace vectoriel de fonctions définies sur un ensemble fini

Message par bootleg » 24 novembre 2020, 14:56

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse, pour votre temps et pour vos explications détaillées, je pense avoir compris le sujet désormais.

Meilleures salutations

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