Bonsoir, quelqu'un pourrait m'aider à résoudre ces équations différentielles du second ordre définies sur r svp ?
y''+6y'+9y = xe^(-3x)
y''-5y'+6y = x^2+1
y''+4y = sin(2x)
Résolution
Re: Résolution
Bonjour
1) L'équation caractéristique $r^2+6r+9=0$ admet une racine double (-3).
Les solutions de l'équation homogène sont de la forme $(\lambda x +\mu )e^{-3x}$
On cherche un polynôme P tel que $y=P(x)e^{-3x}$ soit solution.
$y'=(P'(x)-3P(x))e^{-3x}$ et $y"=(P"(x)-6P'(x)+9P(x))e^{-3x}$
$y"+6y'+9y=P"$
Donc $P"(x)=x$ , $P'x)=ax+b$ ; $P(x)=\frac{1}{2} ax^2 +bx +c$
Les solutions de l'équation sont les fonctions définies par $f(x)=(\frac{1}{2} ax^2 +bx +c)e^{-3x}$
2) L'équation caractéristique a comme racines 2 et 3.
Les solutions de l'équation homogène sont de la forme $\lambda e^{2x}+\mu e^{3x}$
Le second membre étant un polynôme de degré 2, on cherche une solution particulière de la forme $g(x)=ax^2+bx+c$
$g"(x)_5g'(x)+6g(x)= 6ax^2 +2(3b-5a)x +6c-5b+2a$
On résout le système : $ \begin{array}{rcl} 6a&=&1\\3b-5a&=&0\\6c-5b+2a&=&1\end {array}$
(Sauf erreur) J'obtiens $a=\frac{1}{6}$ ; $b=\frac{5}{18}$ ; $c=\frac{37}{108}$
On ajoute cette solution particulière aux solutions de l'équation homogène.
1) L'équation caractéristique $r^2+6r+9=0$ admet une racine double (-3).
Les solutions de l'équation homogène sont de la forme $(\lambda x +\mu )e^{-3x}$
On cherche un polynôme P tel que $y=P(x)e^{-3x}$ soit solution.
$y'=(P'(x)-3P(x))e^{-3x}$ et $y"=(P"(x)-6P'(x)+9P(x))e^{-3x}$
$y"+6y'+9y=P"$
Donc $P"(x)=x$ , $P'x)=ax+b$ ; $P(x)=\frac{1}{2} ax^2 +bx +c$
Les solutions de l'équation sont les fonctions définies par $f(x)=(\frac{1}{2} ax^2 +bx +c)e^{-3x}$
2) L'équation caractéristique a comme racines 2 et 3.
Les solutions de l'équation homogène sont de la forme $\lambda e^{2x}+\mu e^{3x}$
Le second membre étant un polynôme de degré 2, on cherche une solution particulière de la forme $g(x)=ax^2+bx+c$
$g"(x)_5g'(x)+6g(x)= 6ax^2 +2(3b-5a)x +6c-5b+2a$
On résout le système : $ \begin{array}{rcl} 6a&=&1\\3b-5a&=&0\\6c-5b+2a&=&1\end {array}$
(Sauf erreur) J'obtiens $a=\frac{1}{6}$ ; $b=\frac{5}{18}$ ; $c=\frac{37}{108}$
On ajoute cette solution particulière aux solutions de l'équation homogène.