Résolution

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nana297
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Résolution

Message par nana297 » 30 octobre 2020, 20:54

Bonsoir, quelqu'un pourrait m'aider à résoudre ces équations différentielles du second ordre définies sur r svp ?

y''+6y'+9y = xe^(-3x)
y''-5y'+6y = x^2+1
y''+4y = sin(2x)

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Job
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Re: Résolution

Message par Job » 01 novembre 2020, 17:41

Bonjour

1) L'équation caractéristique $r^2+6r+9=0$ admet une racine double (-3).
Les solutions de l'équation homogène sont de la forme $(\lambda x +\mu )e^{-3x}$

On cherche un polynôme P tel que $y=P(x)e^{-3x}$ soit solution.
$y'=(P'(x)-3P(x))e^{-3x}$ et $y"=(P"(x)-6P'(x)+9P(x))e^{-3x}$
$y"+6y'+9y=P"$
Donc $P"(x)=x$ , $P'x)=ax+b$ ; $P(x)=\frac{1}{2} ax^2 +bx +c$

Les solutions de l'équation sont les fonctions définies par $f(x)=(\frac{1}{2} ax^2 +bx +c)e^{-3x}$

2) L'équation caractéristique a comme racines 2 et 3.
Les solutions de l'équation homogène sont de la forme $\lambda e^{2x}+\mu e^{3x}$

Le second membre étant un polynôme de degré 2, on cherche une solution particulière de la forme $g(x)=ax^2+bx+c$
$g"(x)_5g'(x)+6g(x)= 6ax^2 +2(3b-5a)x +6c-5b+2a$

On résout le système : $ \begin{array}{rcl} 6a&=&1\\3b-5a&=&0\\6c-5b+2a&=&1\end {array}$

(Sauf erreur) J'obtiens $a=\frac{1}{6}$ ; $b=\frac{5}{18}$ ; $c=\frac{37}{108}$

On ajoute cette solution particulière aux solutions de l'équation homogène.

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