DM MPSI logarithme

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Bonjour,
j'ai un dm à faire et je bloque sur certaines questions:
I.2.a)$u^k_(n+1)-u^k_n=((1/kn+1)+(1/kn+2)+...+(1/kn+k))-((1+kn+k)+...+(1/kn+k))$ .Je bloque ici puisque je n'arrive pas à conclure et montrer que $u^k_(n+1)-u^k_n\geq0$ .
I.2.b)C'est la même chose:
$v^k_(n+1)-v^k_n=((1/kn+1-1)+(1/kn-1+2)+...+(1/kn+k-1))-((1/kn)+...+(1/kn))$.Comment montrer que cette quantité est négative ?
I.5.b)c'est pourtant une déduction mais je n'arrive pas à faire le lien avec l'inégalité de la question précédente, si quelqu'un pouvait me donner une piste..
I.5.c)On se sert de l'inégalité de I.5.b) et on pose p=-p. Cela vous parait t il juste?
II.1.a)J'ai pour tout entier naturel
$x_n>10^n-1$. Je pense pouvoir dire que $x_n$ est minorée mais je ne sais pas comment conclure pour $u_n$..
II.2.c)en faisant un encadrement de $L(z_n)-2nL(10)$ à l'aide des 2 questions précédentes, j'aboutis à L(x)+L(y)<L(xy)<L(x)+L(y) et donc la réponse attendue, cela vous parait t il juste?
II.4.b)Je sais qu'il faut utiliser la question précédente et manipuler les valeurs absolues mais je suis vraiment bloqué sur cette question donc si quelqu'un pouvait me donner une bonne piste pour je puisse avancer..
Merci beaucoup si vous prenez du temps pour répondre!

[Job]

Bonjour

Exercice 1

2.b)
$\displaystyle u_{n+1}^k -u_n^k=\frac{1}{kn+1}+\cdots + \frac{1}{kn+k}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{kn+1}+\cdots + \frac{1}{kn+k}-k\frac{1}{kn+k}$ en utilisant l'égalité de a).
Ce qui donne en regroupant : $\displaystyle (\frac{1}{kn+1}-\frac{1}{kn+k}) +\cdots +(\frac{1}{kn+(k-1)}-\frac{1}{kn+k})$

Il s'agit d'une somme de $(k-1)$ termes tous positifs donc $u_{n+1}^k -u_n^k>0$

2.c)
$\displaystyle v_{n+1}^k -v_n^k=\frac{1}{kn}+\frac{1}{kn+1}+\cdots +\frac{1}{kn+k-1}-\frac{1}{n}$
$\displaystyle = \frac{1}{kn}+\frac{1}{kn+1}+\cdots +\frac{1}{kn+k-1}-k\frac{1}{kn}$
$\displaystyle = (\frac{1}{kn+1}-\frac{1}{kn} ) +\cdots +(\frac{1}{kn+k-1} -\frac{1}{kn})$

C'est une somme de $(k-1) termes tous négatifs donc $v_{n+1}^k -v_n^k<0$

5.b)
$\displaystyle L(k+1)-L(k)\leq \frac{1}{k}\\L(k+2)-L(k+1)\leq \frac{1}{k+1} \\ \cdots \\ L(k+p)-L(k+p-1)\leq \frac{1}{k+p-1}$
En additionnant membre à membre, on obtient $\displaystyle L(k+p)-L(k) \leq \frac{1}{k}+\cdots +\frac{1}{k+p-1}$
Le deuxième terme est une somme de $p$ termes tous $\leq \frac{1}{k}$ donc elle est inférieure po égale à $\displaystyle p\times \frac{1}{k}$ ce qui conclut la démonstration.

5.c) Même type de démonstration.
$\displaystyle \frac{1}{k} \leq L(k)-L(k-1)\\ \frac{1}{k-1} \leq L(k-1)-L(k-2)\\ \cdots \\ \frac{1}{k-p+1}\leq L(k-p+1)-L(k-p)$
En additionnant membre à membre : $\displaystyle \frac{1}{k}+\frac{1}{k-1} \cdots +\frac{1}{k+p-1}\leq L(k) -L(k-p)$
La somme est une somme de $p$ termes tous supérieurs ou égaux à $\frac{1}{k}$ donc :
$\displaystyle p\times \frac{1}{k}\leq L(k)-L(k-p)$ soit, en passant aux opposés :
$L(k-p)-L(k) \leq -\frac{p}{k}$

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ouah merci beaucoup!
je vais reprendre tout ça mais j'ai globalement compris tous vos raisonnements.
Avez vous une idée pour la partie 2 puisque vos raisonnements étaient vraiment très clairs
encore merci et bonne journée

[Job]

Pour le second exercice, je regarderai demain.

[123456]

pas de problème, merci beaucoup

[123456]

Bonjour Job,
je sais que je vais paraitre exigeant mais avez vous une idée de la partie 2?
Je sais que cela peut prendre du temps et que vous avez peut être d'autres choses à faire ou tout simplement que vous ne pouvez pas m'aider.
Merci de votre réponse et bonne fin de journée

[Job]

Bonjour

J'ai essayé de voir la seconde partie mais, pour la dernière question qui vous pose problème, les valeurs absolues me posent aussi un problème.

Peut-être faut-il faire 2 encadrements l'un pour les termes de la suite $(y_n)$ inférieurs à x et l'autre pour ceux qui sont supérieurs à x.

[123456]

Ok pas de problème, je vais continuer de chercher, avez vous une idée des questions 1a et 2c) de la partie 2?
Merci d’avance

[123456]

ok je pense avoir trouvé une bonne idée:

d'après la 3d),

$|(L(y_n)-L(x))/(y_n-x)|\leq|(1/(y_n))-(1/x)|$
je pense qu'en utilisant la définition de limite on peut conclure qu'en pensez vous?

[Job]

Désolé, j'ai un peu cherché mais il faudrait que je reprenne entièrement l'exercice et je n'ai pas trop le temps.