Bonsoir,
pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice
Merci
Application linéaire
Application linéaire
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Re: Application linéaire
Bonjour
a) $A$ est libre si les vecteurs de $A$ sont linéairement indépendants.
On doit avoir : $\lambda_1V_1+\lambda_2V_2+\cdots +\lambda_nV_n=0 \Longrightarrow \lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_n=0$
Si $A$ est libre, pour être une base, il faut de plus que la famille soit génératrice, c'est-à-dire que tout vecteur de $E$ puisse s'exprimer en fonction des vecteurs de $A$.
b) Il s'agit d'une fonction de ${\mathbb R}^2$ dans ${\mathbb R}^2$
La matrice est : $\begin{pmatrix} 2&\alpha\\1&-1\end{pmatrix}$
c)$(x,y)\in \ker(f_{\alpha})$ si et seulement si $\begin{Bmatrix}2x+\alpha y &=&0\\x-y&=&0\end{Bmatrix}$ soit $\begin{Bmatrix}y&=&x\\(2+\alpha)x&=&0\end{Bmatrix}$
Si $\alpha \neq -2$, on obtient $x=y=0$. Le noyau ne comporte que le vecteur nul.
Si $\alpha =-2$ on a $(x,y)\in \ker(f_{\alpha})$ si et seulement si $y=x$
$\ker(f_{-2})$ est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur (1,1).
d) $rg (f_{\alpha}) =\dim (E) - dim (\ker(f_{\alpha})$
Donc si $\alpha\neq -2$ alors $f_{\alpha}$ est de rang 2 et si $\alpha =-2$ alors $f_{-2}$ est de rang 1.
e) Si $\alpha\neq -2$ alors $f_{\alpha}$ est injective puisque le noyau est {0} et surjective puisque elle est de dimension 2 donc elle est bijective.
Si $\alpha =-2$ elle ne répond à aucune des 2 conditions donc elle n'est ni injective, ni surjective.
a) $A$ est libre si les vecteurs de $A$ sont linéairement indépendants.
On doit avoir : $\lambda_1V_1+\lambda_2V_2+\cdots +\lambda_nV_n=0 \Longrightarrow \lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_n=0$
Si $A$ est libre, pour être une base, il faut de plus que la famille soit génératrice, c'est-à-dire que tout vecteur de $E$ puisse s'exprimer en fonction des vecteurs de $A$.
b) Il s'agit d'une fonction de ${\mathbb R}^2$ dans ${\mathbb R}^2$
La matrice est : $\begin{pmatrix} 2&\alpha\\1&-1\end{pmatrix}$
c)$(x,y)\in \ker(f_{\alpha})$ si et seulement si $\begin{Bmatrix}2x+\alpha y &=&0\\x-y&=&0\end{Bmatrix}$ soit $\begin{Bmatrix}y&=&x\\(2+\alpha)x&=&0\end{Bmatrix}$
Si $\alpha \neq -2$, on obtient $x=y=0$. Le noyau ne comporte que le vecteur nul.
Si $\alpha =-2$ on a $(x,y)\in \ker(f_{\alpha})$ si et seulement si $y=x$
$\ker(f_{-2})$ est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur (1,1).
d) $rg (f_{\alpha}) =\dim (E) - dim (\ker(f_{\alpha})$
Donc si $\alpha\neq -2$ alors $f_{\alpha}$ est de rang 2 et si $\alpha =-2$ alors $f_{-2}$ est de rang 1.
e) Si $\alpha\neq -2$ alors $f_{\alpha}$ est injective puisque le noyau est {0} et surjective puisque elle est de dimension 2 donc elle est bijective.
Si $\alpha =-2$ elle ne répond à aucune des 2 conditions donc elle n'est ni injective, ni surjective.
Re: Application linéaire
Bonjour,
merci infiniment
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