Bonjour, est ce possible de m'aider svp car je n'arrive pas a résoudre cet exercice.
soit P=(z appartient C /im(z)>0), D=(z appartient C /valeur absolue de z <1) et f:C-(i) -> C définie par f(z)=(z-i)/(z+i)
1) soit z appartenant à P. Montrer que f(z) appartient à D
2) soit Z appartenant à D. Montrer qu'il existe un unique élément z appartenant à P tel que f(z)=Z
3) Que dire de la fonction f:P -> D ?
fonction complexe
Re: fonction complexe
Bonjour
1) $\displaystyle |f(z)|^2=\frac{|z-i|^2}{|z+i|^2}$
En posant $z=x+iy$,on a :
$|z-i|^2=x^2+(y-1)^2$ et $|z+i|^2=x^2+(y+1)^2$
$|z-i|^2-|z+i|^2=-4y<0$ si $z\in P$ donc $|z-i|^2<|z+i|^2$
Par conséquent $|f(z)|^2<1$ d'où $|f(z)|<1$ donc $f(z)\in D$
2) $f(z)=Z$ équivaut à $\displaystyle z =\frac{i(Z+1)}{1-Z}$
En posant $Z=x+iy$ on a $\displaystyle z=\frac{i(x+1+iy)}{(1-x-iy}$
En multipliant par le conjugué du dénominateur, on obtient :
$\displaystyle z=\frac{i(1-x^2-y^2)-2y}{(1-x)^2+y^2}$
La parie imaginaire de $z$ est donc $\displaystyle \frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}$
$|Z|<1$ donc $x^2+y^2<1$, on en déduit que $Im(z)>0$ donc $z\in P$
3) La question 1 montre que $f$ est une application de $P$ dans $D$ et la seconde question que tout élément de $D$ a un antécédent dans $P$ donc $f$ est une bijection de $P$ sur $D$
1) $\displaystyle |f(z)|^2=\frac{|z-i|^2}{|z+i|^2}$
En posant $z=x+iy$,on a :
$|z-i|^2=x^2+(y-1)^2$ et $|z+i|^2=x^2+(y+1)^2$
$|z-i|^2-|z+i|^2=-4y<0$ si $z\in P$ donc $|z-i|^2<|z+i|^2$
Par conséquent $|f(z)|^2<1$ d'où $|f(z)|<1$ donc $f(z)\in D$
2) $f(z)=Z$ équivaut à $\displaystyle z =\frac{i(Z+1)}{1-Z}$
En posant $Z=x+iy$ on a $\displaystyle z=\frac{i(x+1+iy)}{(1-x-iy}$
En multipliant par le conjugué du dénominateur, on obtient :
$\displaystyle z=\frac{i(1-x^2-y^2)-2y}{(1-x)^2+y^2}$
La parie imaginaire de $z$ est donc $\displaystyle \frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}$
$|Z|<1$ donc $x^2+y^2<1$, on en déduit que $Im(z)>0$ donc $z\in P$
3) La question 1 montre que $f$ est une application de $P$ dans $D$ et la seconde question que tout élément de $D$ a un antécédent dans $P$ donc $f$ est une bijection de $P$ sur $D$