Diagonalisation d'une matrice

[Job]

$A=\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\-1&-1&0\end{pmatrix}$

[Job]

$A=\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\-1&-1&0\end{pmatrix}$

1a. On calcule le déterminant de $A-\lambda I$
$A-\lambda I=\begin{vmatrix}-\lambda&-1&-1\\-1&-\lambda&-1\\-1&-1&-\lambda \end{vmatrix}$

Après avoir fait $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3$ puis $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$, on obtient :

$\begin{vmatrix}-\lambda-2&-1&-1\\0&-\lambda +1&0\\0&0&-\lambda+1\end{vmatrix}=-(\lambda +2)(\lambda-1)^2$

1b. Le spectre de $A$ est donc $\{1,-2\}$, 1 valeur propre double et (-2) valeur propre simple.

2. Sous-espace propre associé à 1. On détermine $(A-I)(X)=0$
$\begin{pmatrix}-1&-1&-1\\-1&-1&-1\\-1&-1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x-y-z\\-x-y-z\\-x-y-z\end{pmatrix}$

Le sous-espace propre est donc le plan vectoriel : $x+y+z=0$.
On peut donner comme base les vecteurs $f_1=(1,0,-1)$ et $f_2=0,1,-1)$

Sous-espace propre associé à (-2). On détermine $(A+2I)(X)=0$
$\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-y-z\\-x+2y-z\\-x-y+2z\end{pmatrix}$

Le système équivaut à $x=y=z$. C'est donc une droite vectorielle qui a pour base le vecteur $f_3=(1,1,1)$

3a. La dimension de chacun des espaces proprement respectivement égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre donc $f$ est diagonalisable.

Dans la base $(f_1,f_2,f_3)$, $f$ a pour matrice $D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$

3b. La matrice de passage $P=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\-1&-1&1\end{pmatrix}$

$P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\1&1&1\end{pmatrix}$

4. $D=P^{-1} AP$ soit $A=PDP^{-1}$

5. Sachant que $P^{-1}P=I$ on obtient $A^n=PD^nP^{-1}$