Une relation d'ordre sur un ensemble quotient

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
Alef
Membre
Messages : 1
Inscription : 25 juillet 2020, 15:22

Une relation d'ordre sur un ensemble quotient

Message par Alef » 25 juillet 2020, 16:15

Bonjour à tous. Je viens de finir un problème sur lequel j'étais bloqué pendant un peu de temps. Je voulais demander un peu d'aide pour savoir si ma rédaction et mes justifications sont corrects Je vais écrire les différentes questions du sujet ainsi que mes réponses, j'éspère que ce ne sera pas trop difficile à lire. Je pense avoir plutôt bien réussi les questions mais c'est surtout la 2) et la 4) (et surtout la 4) en fait) sur lequel j'aurais vraiment besoin de confirmation. Merci en avance pour vos réponses :D .

On pose : $E = \mathcal{F} (\mathbb{N}, \mathbb{N})$ et on définit la relation binaire $\sim$ sur $E$ ainsi : $$\forall f, g \in E, \hspace{3pt} f \sim g \Longleftrightarrow \exists n_0 \in \mathbb{N}, \hspace{3pt} \forall n \geqslant n_0, \hspace{3pt} f(n) = g(n)$$

1) Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence sur $E$.

Rep : Soient $f, g, h \in E$. Il est évident que $f \sim f$ en prenant $n_0 = 0$, d'où $\sim$ est réfléxive. De plus il est évident que si $f \sim g$, alors $g \sim f$ (en prenant le même $n_0$), d'où $\sim$ est symétrique. Enfin si $f \sim g$ et $g \sim h$, les fonctions $f$ et $g$ sont égales à partir d'un rang $n_1 \in \mathbb{N}$ et les fonctions $g$ et $h$ sont égales à partir d'un rang $n_2 \in \mathbb{N}$. Donc les fonctions $f$ et $h$ sont égales à partir du rang $N = \max (n_1, n_2) \in \mathbb{N}$. Donc $f \sim h$ et $\sim$ est transitive. D'où $\sim$ est une relation d'équivalence sur $E$.

On note $E/\sim$ l'ensemble quotient de $E$ associé à $\sim$. Pour $\omega$ et $\omega'$ deux classes d'équivalence de $E/\sim$, on dira que $\omega \leqslant \omega'$ s'il existe $f \in \omega$ et $f' \in \omega'$ tels que $f \leqslant f'$.

2) Soient g, g' $\in$ E. On note $\omega$ (resp. $\omega'$) la classe de $g$ (resp. g'). Montrer l'équivalence suivante : $$\omega \leqslant \omega' \Longleftrightarrow \exists N \in \mathbb{N}, \hspace{3pt} \forall n \geqslant N, \hspace{3pt} g(n) \leqslant g'(n)$$

Rep : On suppose tout d'abord que $\omega \leqslant \omega'$. Il existe donc $f \in \omega$ et $f' \in \omega'$ tels que $f \leqslant f'$. On a donc pour tout $n \in \mathbb{N}, \hspace{3pt} f(n) \leqslant f'(n)$. De plus, puisque $f \in \omega$, on a $f \sim g$ et donc il existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geqslant n_1$, on a : $f(n) = g(n)$. De même on a $f'(n) = g'(n)$ pour tout $n \geqslant n_2$ où $n_2$ est un entier. Donc pour $n \geqslant \max (n_1, n_2)$, on a : $$g(n) = f(n) \leqslant f'(n) = g'(n)$$ d'où le sens direct de l'équivalence.

On suppose maintenant qu'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geqslant N$, on a : $g(n) \leqslant g'(n)$. On définit alors pour $n \in \mathbb{N}$ la fonction $f \in E$ ainsi : $f(n) = 0$ si $0 \leqslant n < N$ et $f(n) = g(n)$ sinon. On définit de même la fonction $f'$ ainsi : $f'(n) = 1$ si $0 \leqslant n < N$ et $f'(n) = g'(n)$ sinon. Alors on a bien $f \in \omega$ et $f' \in \omega'$ et par construction : $f \leqslant f'$. D'où la réciproque et l'équivalence recherchée.

3) Montrer que $(E/\sim, \leqslant)$ est un ensemble ordonné.

Rep : Il suffit de montrer que $\leqslant$ est une relation d'ordre sur $E/\sim$. Soient $g,g',g'' \in E$ et $\omega, \omega', \omega'' \in E/\sim$ leurs classes respective. On utilise la caractérisation obtenue à la question précédente. On a donc $\omega \leqslant \omega'$ car $g \leqslant g'$ ($N = 0$). De plus si $\omega \leqslant \omega'$ et $\omega' \leqslant \omega$. Alors $g(n) \leqslant g'(n)$ pour tout $n \geqslant n_1$ où $n_1$ est un entier et de même : $g'(n) \leqslant g(n)$ pour tout $n \geqslant n_2$ où $n_2$ est un entier. Ainsi, pour $n \geqslant \max (n_1, n_2)$, on a : $g(n) = g'(n)$. D'où $g \sim g'$ et donc $\omega = \omega'$, d'où $\leqslant$ est antisymétrique. La transitivité se traite sans problème presque de la même manière que la transitivité de $\sim$. D'où le résultat.

4) L'ordre est-il total ?

Rep : L'ordre n'est pas total. On utilise à nouveau la caractérisation obtenue à la question 2). On définit pour $n \in \mathbb{N}$ les fonction $g$ et $g'$ ainsi : $g(n) = (-1)^n + 1$ et $g'(n) = (-1)^{n+1} +1$. Alors on bien $g, g' \in E$. Soient $\omega, \omega' \in E/\sim$ les classes de $g$ et $g'$ respectivement. On montre alors que $\omega$ et $\omega'$ ne sont pas comparables. En effet s'ils l'étaient, on aurais, à pcr, soit $g \leqslant g'$, soit $g' \leqslant g$. Hors ce n'est pas le cas, la différence $g(n) - g'(n)$ changeant de signe une infinité de fois.

P.S. : est-ce que quelqu'un aurait une idée d'où cet exercice aurait pu venir. Il est dans ma planche d'exercices sur la théorie des ensembles et donc j'étais curieux de savoir si cela venait d'un endroit des mathématiques en particulier.

Répondre