1) $||v_1||= \sqrt{1^2+1^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{19}$
$||v_2||=\sqrt{10}\;\ ||v_3||=\sqrt{12}||\ ;\ ||v_4||=\sqrt{57}\ ;\ ||v_5||=\sqrt{52}$
2. a) Je montre que $(v_1,v_2,v_3)$ constitue une partie libre.
On résout $av_1+bv_2+cv_3=0$ soit le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&0\\a+2b+3c&=&0\\4a+2b+c&=&0\\-a-b+c&=&0\end{array}\right.$
On obtient $a=b=c=0$ donc $(v_1,v_2,v_3)$ constitue une partie libre.
On résout $av_1+bv_2+cv_3=v_4$ soit le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&2\\a+2b+3c&=&-7\\4a+2b+c&=&0\\-a-b+c&=&2\end{array}\right.$
On obtient $a=-1\ ; b=1\ ;\ c=2$ soit $v_4=-v_1+v_2+2v_3$
De même on résout $av_1+bv_2+cv_3=v_5$. On obtient $a=0\ ;\ b=-2\ ;\ c=3$ soit $v_5=-2v_2+3v_3$
$(v_1,v_2,v_3)$ constitue une partie libre et génératrice de $F$ donc $V$ est de dimension 3.
b) $B=(v_1,v_2,v_3)$. On pose $b_1=v_1\ ; \ b_2=v_2\ ;\ b_3=v_3$
3. On constate que $(3,9,3,3)=3v_3$ donc $v$ appartient à $V$ et $v= 3v_3=3b_3$. Il a pour coordonnées $(0,0,3)$
4. On On résout $av_1+bv_2+cv_3=(1,1,1,1)$ soit le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&1\\a+2b+3c&=&1\\4a+2b+c&=&1\\-a-b+c&=&1\end{array}\right.$
Le système n'a pas de solution donc $w$ n'appartient pas à $V$
espace euclidien.
Re: espace euclidien.
5. a) * Le vecteur nul appartient à $D$.
* Soit 2 vecteurs $u_1$ et $u_2$ qui appartiennent à $D$ donc pour tout vecteur $v\in V$, $<u_1,v>=0$ et $<u_2,v>=0$
Quels que soient les réels $a$ et $b$, et quel que soit $v\in V$
$<au_1+bu_2,v>=a<u_1,v>+b<u_2,v>=0$ donc $au_1+bu_2\in D$
$D$ est donc stable par combinaison linéaire. C'est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb R}^4$
b) En utilisant la base $(b_1,b_2,b_3)=(v_1,v_2,v_3)$ de $V$, on cherche les vecteurs $u\ (x,y,z,t)$ tels que : $\left\{\begin{array}{rcl}<u,v_1>=0\\<u,v_2>=0\\<u,v_3>=0\end{array}\right.$
Soit le système : $\left\{\begin{array}{rcl}x+y+4z-t&=&0\\x+2y+2z-t&=&0\\x+3y+z+t&=&0\end{array}\right.$
En résolvant par rapport à $t$, on obtient $x=13t\ ;\ y=-4t\ ;\ z=-2t$
En donnant à $t$ la valeur 1, on obtient donc un vecteur $u\ :\ (13, -4,-2 ,1)$ avec $||u||=\sqrt{13^2+(-4)^2+((-2)^2+1^2}=\sqrt{190}$
$D$ est donc de dimension 1 engendré par le vecteur $c=(\frac{13}{\sqrt {190}},\frac{-4}{\sqrt {190}},\frac{-2}{\sqrt {190}},\frac{1}{\sqrt {190}})$
4. On cherche l'intersection de $V$ et $D$ en cherchant si le vecteur $u\ (13,-4,-2,1)$ de $D$ appartient à $V$ donc si il existe des réels $a,\ b,\ c$ tels que $u=ab_1+bb_2+cb_3$ soit le système :
$\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&13\\a+2b+3c&=&-4\\4a+2b+c&=&-2\\-a-b+c&=&1\end{array}\right.$
Le système n'a pas de solution.
On en déduit que $V\cap D=\{0\}$
D'autre part $\dim(V)+\dim (D) =3+1=\dim({\mathbb R}^4).$
Donc $V$ et $D$ sont supplémentaires.
* Soit 2 vecteurs $u_1$ et $u_2$ qui appartiennent à $D$ donc pour tout vecteur $v\in V$, $<u_1,v>=0$ et $<u_2,v>=0$
Quels que soient les réels $a$ et $b$, et quel que soit $v\in V$
$<au_1+bu_2,v>=a<u_1,v>+b<u_2,v>=0$ donc $au_1+bu_2\in D$
$D$ est donc stable par combinaison linéaire. C'est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb R}^4$
b) En utilisant la base $(b_1,b_2,b_3)=(v_1,v_2,v_3)$ de $V$, on cherche les vecteurs $u\ (x,y,z,t)$ tels que : $\left\{\begin{array}{rcl}<u,v_1>=0\\<u,v_2>=0\\<u,v_3>=0\end{array}\right.$
Soit le système : $\left\{\begin{array}{rcl}x+y+4z-t&=&0\\x+2y+2z-t&=&0\\x+3y+z+t&=&0\end{array}\right.$
En résolvant par rapport à $t$, on obtient $x=13t\ ;\ y=-4t\ ;\ z=-2t$
En donnant à $t$ la valeur 1, on obtient donc un vecteur $u\ :\ (13, -4,-2 ,1)$ avec $||u||=\sqrt{13^2+(-4)^2+((-2)^2+1^2}=\sqrt{190}$
$D$ est donc de dimension 1 engendré par le vecteur $c=(\frac{13}{\sqrt {190}},\frac{-4}{\sqrt {190}},\frac{-2}{\sqrt {190}},\frac{1}{\sqrt {190}})$
4. On cherche l'intersection de $V$ et $D$ en cherchant si le vecteur $u\ (13,-4,-2,1)$ de $D$ appartient à $V$ donc si il existe des réels $a,\ b,\ c$ tels que $u=ab_1+bb_2+cb_3$ soit le système :
$\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&13\\a+2b+3c&=&-4\\4a+2b+c&=&-2\\-a-b+c&=&1\end{array}\right.$
Le système n'a pas de solution.
On en déduit que $V\cap D=\{0\}$
D'autre part $\dim(V)+\dim (D) =3+1=\dim({\mathbb R}^4).$
Donc $V$ et $D$ sont supplémentaires.
Re: espace euclidien.
7.
$v\in V$ donc $\pi(v)=v$
8. Cela devient obscur. Je ne vois pas comment continuer.
a) $B=(b_1,b_2,b_3)$ et $C=c_1$
$w=xb_1+yb_2+zb_3+tc_1$
b) $\pi (w)=xb_1+yb_2+zb_3$
$v\in V$ donc $\pi(v)=v$
8. Cela devient obscur. Je ne vois pas comment continuer.
a) $B=(b_1,b_2,b_3)$ et $C=c_1$
$w=xb_1+yb_2+zb_3+tc_1$
b) $\pi (w)=xb_1+yb_2+zb_3$