Polynôme et nombres complexes

[hsina]

Je n'arrive pas à avancer dans la deuxième partie de mon problème, merci de me donner quelques indications...

on a pour a dans C et r un réel strictement positif D(a,r)={z dans C / |z-a|<= r}
pour n nbres complexes a0...an-1 et pour tout z dans P(z)=somme(k=0à n-1)ak*z^k
P est constant ssi a1=...=an-1=0

J'ai déjà montré que
1/n*somme (k=0à n-1)|P(e^2ikpi/n)|²)=somme(j=0 à n-1)(|aj|²)
et pour r un réel
1/n*somme(k=0 à n-1)|P(re^2ikpi/n)|2)=somme(j=0 à n-1)|aj|²*r^2j) (R1)

On suppose maintenant (seulement cette question) que pour tout z deD(0,1), |P(z)|=1
j'ai montré que l'application
[0;1] --> R
r ---> somme(j=0à n-1)|aj|²*r^2j) ? était constante et que P était donc constant

on considère dans cette question un nombre complexe a et un réel r strictement postif.
on suppose dans cette seule question que pour tout z de D(a,r) |P(z)|=1
soit Q la fonction polynôme définie par (z dans C) Q(z)= P(a+r*z)
1/ montrer que Q est constant puis que P est constant (je n'arrive pas à le faire)
j'ai montrer que: 1/n * somme(k=0 à n-1) P(e^2ikpi/n)=P(0)
et que pour tous les nombres complexes u et a:
1/n * somme(k=0 à n-1) P(a+u*e^2kpi/n)=P(a) (R2)
Dans la partie deux, On dit que P vérifie la propriété S si et seulement si P^-1(D(0,1))=D(0,1) (P^-1(D(0,1)) désignant l'image réciproque de D(0,1) par P)
j'ai montré qu'il existe des polynômes constants vérifiant la propriété S, mais je n'arrive pas à répondre à ces questions:
B/On considère un entier n>= 2 et o un réel, montrer que si (qq soit z dans C) P(z)= e^io * z^n-1 alors P vérifie la propriété S
C/on se propose dans la suite de determiner tous les polynomes vérifiant la propriété S.Dans la suite, n est entier >=2, a0...an-1 désignent n nombres complexes, an-1=!0, P est l'application définie par P(z)= somme(j=0 à n-1) aj * z^j, et on suppose que P vérifie la propriété S.
1) En utilisant (R1), montrer que: somme(j=0 à n-1) |aj|² <=1 (R3)
2) on suppose qu'il existe b complexe tel que |b|<1 et |P(b)|=1
a) on considère z dans D(b, 1-|b|)
i) en utilisant R1, montrer que 1<= 1/n * somme(k=0 à n-1) |P(b+(z-b)*e^2ikpi/n)|

Merci pour votre aide

[Job]

Bonsoir

J'ai un peu de mal à bien saisir l'ensemble du problème. Ne pourriez-vous pas scanner le texte ?

[Job]

Finalement j'ai à peu près compris. Je reprends certaines questions de la partie A

3) On suppose que $\forall z \in D(0,1), |P(z)|=1$. Il s'agit de montrer que P est constant.

$e^{i\frac{2k\pi}{n}}\in D(0,1)$ donc $|P(e^{i\frac{2k\pi}{n}})|=1$ et en utilisant la première relation, on a $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}|P(e^{i\frac{2k\pi}{n}})|^2=1=\sum_{j=0}^{n-1} |a_j|^2$

$0\in D(0,1)$ donc $|P(0)|=a_0=1$.

Des 2 relations, on déduit alors que $1\leq j\leq n-1, a_j=0$ et par conséquent $P$ est un polynôme constant.

4) $a+re^{i\frac{2k\pi}{n}}\in D(a,r)$ donc $|P(a+re^{i\frac{2k\pi}{n}})|=1=|Q(e^{i\frac{2k\pi}{n}})|$

Soit $b_k\ (0\leq k\leq n-1)$ les coefficients de $Q$

$\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}|Q(e^{i\frac{2k\pi}{n}})|^2=1=\sum_{j=0}^{n-1} |b_j|^2$

$a\in D(a,r)$ donc $|Q(0)|=|P(a)|=1$. On en déduit que $|b_0|=1$

Des 2 relations, on déduit alors que $1\leq j\leq n-1, b_j=0$ et par conséquent $Q$ est un polynôme constant.

$P(z)=Q(\frac{z-a}{r})$. $Q$ étant un polynôme constant, $P$ est un polynôme constant.

B) * Si $z\in P^{-1}(D(0,1))$ alors $P(z)\in D(0,1)$ soit $|e^{i\theta}|\cdot |z|^{n-1}=|z|^{n-1}\leq 1$ donc $|z|\leq 1$ et par conséquent $z\in D(0,1)$.
On a donc montré que $P^{-1}(D(0,1))\subset D(0,1)$

* Réciproquement Soit $z\in D(0,1)$ il faut montrer qu'il existe $z'\in D(0,1)\ P(z')=z\ et\ z'\in D(0,1)$

On pose $z'=re^{i\alpha}$ .
$P(z')=z\Longleftrightarrow e^{i\theta}z'^{n-1}=z \Longleftrightarrow r^{n-1}e^{i(\theta +(n-1)\alpha)}=z$

Par conséquent $r^{n-1}=|z|\leq 1$ donc $r\leq 1$ et la seconde égalité permet d'obtenir $\alpha$ en fonction de l'argument de $z$ puisque $n-1\geq 1$.
Donc $z'\in D(0,1)$ et $D(0,1)\subset P^{-1}(D(0,1))$

On a donc bien l'égalité demandée.

[hsina]

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de poster tout cela
Mais je ne comprends pas pourquoi doit-on faire la réciproque dans la B ?

[Job]

Pour démontrer que 2 ensembles $A$ et $B$ sont égaux, une méthode classique : démontrer que $A\subset B$ et $B\subset A$

J'essaierai de voir la suite du problème ce soir ou demain.

[hsina]

je pense que pour la question 2)a)i c'est plutôt "en utilisant R2", le prof s'est sûrement trompé

[Job]

Question C.1

$P$ vérifie la propriété S
$e^{i\frac{2k\pi}{n}}\in D(0,1)$ donc $e^{i\frac{2k\pi}{n}}\in P^{-1} (D(0,1))$ . On en déduit que $P(e^{i\frac{2k\pi}{n}})\in D(0,1)$

Par conséquent $|P(e^{i\frac{2k\pi}{n}})|\leq 1$

$\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} |P(e^{i\frac{2k\pi}{n}})|^2\leq \frac{1}{n}(n\times 1)=1$

La relation R1 donne alors l'inégalité demandée.

Question C.2 a) (J'ai un problème car j'arrive à l'inégalité contraire)

$z\in D(b,1-|b|) \Longleftrightarrow |z-b|\leq 1-|b|$

$|b+(z-b)e^{i\frac{2k\pi}{n}}|\leq |b|+|z-b|\leq |b|+1-|b|=1$ donc $b+(z-b)e^{i\frac{2k\pi}{n}}\in D(0,1)$

Comme dans la question précédente, on peut alors déduire que $|P(b+(z-b)e^{i\frac{2k\pi}{n}}|\leq 1$ et j'arrive donc au résultat contraire de ce qui est demandé (à moins que vous ayez fait une erreur de recopiage)

[hsina]

Merci pour ces détails de la réponse !
dans les questions d'après on me demande:
ii)montrer que pour tout k appartenant à [[0...n-1]]: b+(z-b)*e^2ikpi/n appartient à D(0,1)

iii) en déduire que |P(z)|=1
b- en utilisant la première partie montrer que P est constant
3) Montrer que P^-1(U) inclut dans U (U est le cercle unité)