Suite de Fibonacci

[edrouin]

Bonjour, j'ai un exercice à faire et j'ai un problème ...
J'ai cette suite $ U_{n+2}= U_{n+1} + U_{n} $, j'ai montré que $U_{n} \geq n-1$ mais ensuite je suis bloqué ...

Je dois montrer que : $(U_{n+1} U_{n}-U_{n}^{2})$ est une suite géométrique.
et que avec k=1 $\sum_k^n U_{2k-1} = U_{2n} $ et que $ \sum_k^n U_{k} = U_{n+2} -1$ avec k=0 mais je ne sais pas du tout comment faire ?

Pouvez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance

[Job]

Bonjour

N'y-a-t-il pas une erreur dans la première question ?

Pour $n=2$, $u_3u_2-u_2^2=2-1=1$
Pour $n=3$, $u_4u_3-u_3^2=6-4=2$
Pour $n=4$, $u_5u_4-u_4^2=15-9=6$

Il n'y a donc pas de suite géométrique !

Les 2 égalités se démontrent avec des opérations en cascade.

$u_1=u_2-u_0$
$u_3=u_4-u_2$
$u_5=u_6-u_4$
$\cdots \cdots $
$u_{2n-1}=u_{2n}-u_{2n-2}$

En additionnant membre à membre on obtient $\sum_{k=1}^n u_{2k-1} =u_{2n}-u_0=u_{2n}$

$u_0=u_2-u_1$
$u_1=u_3-u_2$
$u_2=u_4-u_3$
$\cdots \cdots $
$u_n=u_{n+2}-u_{n+1}$

En additionnant membre à membre ; $\sum_{k=0}^n u_k=u_{n+2}-u_1=u_{n+2}-1$

[edrouin]

Merci Si en effet il y a une erreur c'est $ U_{n+1} U_{n-1} - U_{n}^{2} $ je suis désolé ...

[Job]

$u_{n+2}u_n-u_{n+1}^2=(u_{n+1}+u_n)u_n-u_{n+1}^2=u_n^2-u_{n+1}(u_{n+1}-u_n)=u_n^2-u_{n+1}u_{n-1}$

La suite est donc géométrique de raison $(-1)$

[edrouin]

Parfait merci