Besoin d'aide s'il-vous-plait Monsieur Job

[FlorianDX]

Bonjour, j'ai besoin d'aide concernant une question pour laquelle je ne vois pas comment faire, pour la 4)e) (je l'ai indiqué en vert).
Voici les liens de l'énoncé :
https://image.noelshack.com/fichiers/20 ... 153044.jpg

https://image.noelshack.com/fichiers/20 ... 153055.jpg

Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée

[Job]

Bonjour

Question 4. e)

D'après la question 4. d), on a pour $1\leq i \leq p,\ u(g_i-f_i)=g_i+f_i$ et $u(g_i+f_i)=g_i-f_i$.

On peut donc prendre comme base :
$(g_1-f_1,g_1+f_1,\cdots , g_p-f_p,g_p+f_p, g_{p+1},\cdots , g_q)$

[FlorianDX]

Bonjour, je ne comprends pas la base que vous prenez surtout à la fin la partie "gp+1,...,gq", qu'est-ce que c'est? Est-ce une faute de frappe? A la fin de votre base, vouliez-vous dire "gp+1 - fp+1, gp+1 + fp+1, ... , gq - fq, gq + fq" ?

[Job]

Bonjour, je ne comprends pas la base que vous prenez surtout à la fin la partie "gp+1,...,gq", qu'est-ce que c'est? Est-ce une faute de frappe? A la fin de votre base, vouliez-vous dire "gp+1 - fp+1, gp+1 + fp+1, ... , gq - fq, gq + fq" ?

D'après le texte $dim (E) = p+q$ et $p<q$ donc après avoir utilisé pour $1\leq i \leq p, \ g_i-f_i$ et $g_i+f_i$, on a les $2p$ premières colonnes de la matrice.
Mais $2p<p+q=dim (E)$ donc il faut encore compléter les $p+q-2p=q-p$ colonnes restantes. On utilise donc pour $p+1\leq i \leq q$ les $g_i$ qui n'ont pas été utilisé dans les $(2p)$ premières colonnes.

[FlorianDX]

Ah oui c'est super astucieux je n'avais pas du tout vu ça.
1) Mais comment avez-vous pensé à cette base ? Quelque chose vous l'a indiqué ?

2) Et cette base est-elle la seule solution ou d'autres bases étaient également possibles ?

3) Aussi, comment savez-vous que ce que vous proposé est bien une base ? Car pour que ça soit une base de E il faut que les deux conditions suivantes soient remplies:
_ il faut que la base en question soit une famille composée de p+q (dimension de l'espace vectoriel E) éléments (ce qui est bien le cas)

_ il faut que la famille en question soit une famille libre; or ici comment savez-vous que la famille que vous proposez comme base est libre ?


4) Est-il vrai de dire que "toute concaténation de familles libres donne une famille libre" ?

[Job]

Ah oui c'est super astucieux je n'avais pas du tout vu ça.
1) Mais comment avez-vous pensé à cette base ? Quelque chose vous l'a indiqué ?

Ce sont les questions précédentes qui doivent guider vers la solution.

2) Et cette base est-elle la seule solution ou d'autres bases étaient également possibles ?

Il y a d'autres bases possibles mais loin d'être naturelles dans l'enchainement du problème.

3) Aussi, comment savez-vous que ce que vous proposé est bien une base ? Car pour que ça soit une base de E il faut que les deux conditions suivantes soient remplies:
_ il faut que la base en question soit une famille composée de p+q (dimension de l'espace vectoriel E) éléments (ce qui est bien le cas)

_ il faut que la famille en question soit une famille libre; or ici comment savez-vous que la famille que vous proposez comme base est libre ?

Pour éviter une rédaction trop lourde, je prends p=2 et q=3.

Soit $a(g_1-f_1)+b(g_1+f_1)+c(g_2-f_2)+d(g_2+f_2)+eg_3=0$
$(a+b)g_1+(-a+b)f_1)+(c+d)g_2+(-c+d)f_2+eg_3=0$
Il a été démontré dans une question précédente que $(f_1,f_2,g_1,g_2,g_3)$ est une base de $E$ donc une famille libre. On en déduit donc que $\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}a+b&=&0\\-a+b&=&0\\c+d&=&0\\-c+d&=&0\\e&=&0\end{array}\right.$
On en déduit $a=b=c=d=e=0$ donc la famille considérée est bien une famille libre.

4) Est-il vrai de dire que "toute concaténation de familles libres donne une famille libre" ?

Ce n'est pas vrai car un vecteur de la seconde famille peut très bien être une combinaison linéaire de vecteurs de la première famille.

[FlorianDX]

D'accord merci.

1) Mais donc pour le fait de savoir que la famille que vous avez proposé comme base est bien une famille libre, je ne vois pas vraiment comment vous avez pu le voir, car en effet pour le cas simple que vous avez pris comme exemple on voit assez facilement que la famille est libre, mais comment peut-on le voir et le montrer dans le cas général ?

2) Et pouvez-vous me montrer à quoi ressemble la matrice donc ? Car le problème c'est que mon professeur nous avait donné un visuel de la matrice (https://www.noelshack.com/2019-09-7-155 ... 060722.jpg), mais j'ai l'impression qu'il s'est trompé, car l'allure de sa matrice laisse penser que cette matrice représente u seulement dans la base (g1-f1, g1+f1, ..., gp-fp, gp+fp). Mais comme vous l'avez montré précédemment, cela ne constitue pas une base de E car cette famille ne contient pas suffisamment de vecteurs, ce pourquoi vous avez complété cette famille avec les vecteurs (gp+1, ..., gq) afin d'avoir le bon nombre de vecteurs pour avoir une base de E, mais j'ai l'impression que dans le visuel de la matrice donné par mon professeur les (gp+1, ..., gq) ne sont pas pris en compte, mon professeur se serait-il trompé ?

[Job]

D'accord merci.

1) Mais donc pour le fait de savoir que la famille que vous avez proposé comme base est bien une famille libre, je ne vois pas vraiment comment vous avez pu le voir, car en effet pour le cas simple que vous avez pris comme exemple on voit assez facilement que la famille est libre, mais comment peut-on le voir et le montrer dans le cas général ?

C'est exactement la même chose, on part de :
$a_1(g_1-f_1)+b_1(g_1+f_1)+\cdots +a_p(g_p-f_p)+b_p(g_p-f_p)+c_{p+1}g_{p+1}+\cdots +c_qg_q=0$
On en déduit : $\left\{\begin{array}{rcl}a_1+b_1&=&0\\-a_1+b_1&=&0\\\cdots \\a_p+b_p&=&0\\-a_p+b_p&=&0\\c_{p+1}&=&0\\\cdots c_q&=&0\end{array}\right.$
On en déduit que tous les coefficients sont nuls donc que la famille est libre.

2) Et pouvez-vous me montrer à quoi ressemble la matrice donc ? Car le problème c'est que mon professeur nous avait donné un visuel de la matrice (https://www.noelshack.com/2019-09-7-155 ... 060722.jpg), mais j'ai l'impression qu'il s'est trompé, car l'allure de sa matrice laisse penser que cette matrice représente u seulement dans la base (g1-f1, g1+f1, ..., gp-fp, gp+fp). Mais comme vous l'avez montré précédemment, cela ne constitue pas une base de E car cette famille ne contient pas suffisamment de vecteurs, ce pourquoi vous avez complété cette famille avec les vecteurs (gp+1, ..., gq) afin d'avoir le bon nombre de vecteurs pour avoir une base de E, mais j'ai l'impression que dans le visuel de la matrice donné par mon professeur les (gp+1, ..., gq) ne sont pas pris en compte, mon professeur se serait-il trompé ?

Je reconnais que ce n'est pas très clair. Là encore je crois que c'est plus clair en prenant par exemple $p=2$ et $q=4$ ce qui donne une matrice 6 x 6.
$\left(\begin{matrix}0&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{matrix}\right)$
Pour les dernières colonnes, comme $u(g_{p+1})=g_{p+1},\cdots u(g_q)=g_q$, ce sont les termes sur la diagonale qui sont égaux à 1.

[FlorianDX]

Merci beaucoup, vous êtes super clair et m'avez beaucoup aidé