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Besoin d'aide Monsieur Job
Re: Besoin d'aide Monsieur Job
Bonjour
Exercice 5
1. Le calcul de $B^2$ montre que $B^2=2B$. Le rapport d'homothétie est donc 2.
2. $B^3=B^2B=(2B)B=2B^2=4B$
On montre par récurrence que $B^n=2^{n-1}B$
- vérifié pour $n=1$
- on suppose vérifié au rang $n$ : $B^n=2^{n-1}B$
$B^{n+1}=B^nB=2^{n-1}BB=2^{n-1}B^2=2^{n-1}(2B)=2^nB$. L'égalité est donc vérifiée au rang $(n+1)$
3. On calcule $M-I$ et on trouve $M-I=B$
$M^n=(B+I)^n= \sum_{k=1}^n {n\choose k}B^k I^{n-k}=\sum_{k=1}^n B^k=\sum_{k=1}^n(2^{k-1})B$
$\sum_{k=1}^n 2^{k-1}= \frac{2^{n}-1}{2-1}=2^{n}-1$
$M^n=(2^{n}-1)B$
4. $(xB+I)^n=\sum_{k=1}^n(xB)^kI^{n-k}=\sum_{k=1}^n x^kB^k=\sum_{k=1}^n x^k2^{k-1} B$
$\sum_{k=1}^n x^k2^{k-1}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(2x)^k=\frac{1}{2} \times 2x\times \frac{(2x)^n-1}{2x-1}=x\times \frac{(2x)^n-1}{2x-1}$
$(Bx+I)^n=x\times \frac{(2x)^n-1}{2x-1} B$
Dans les questions 3 et 4 j'ai pris $n$ entier naturel non nul comme dans la question 2
Exercice 5
1. Le calcul de $B^2$ montre que $B^2=2B$. Le rapport d'homothétie est donc 2.
2. $B^3=B^2B=(2B)B=2B^2=4B$
On montre par récurrence que $B^n=2^{n-1}B$
- vérifié pour $n=1$
- on suppose vérifié au rang $n$ : $B^n=2^{n-1}B$
$B^{n+1}=B^nB=2^{n-1}BB=2^{n-1}B^2=2^{n-1}(2B)=2^nB$. L'égalité est donc vérifiée au rang $(n+1)$
3. On calcule $M-I$ et on trouve $M-I=B$
$M^n=(B+I)^n= \sum_{k=1}^n {n\choose k}B^k I^{n-k}=\sum_{k=1}^n B^k=\sum_{k=1}^n(2^{k-1})B$
$\sum_{k=1}^n 2^{k-1}= \frac{2^{n}-1}{2-1}=2^{n}-1$
$M^n=(2^{n}-1)B$
4. $(xB+I)^n=\sum_{k=1}^n(xB)^kI^{n-k}=\sum_{k=1}^n x^kB^k=\sum_{k=1}^n x^k2^{k-1} B$
$\sum_{k=1}^n x^k2^{k-1}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(2x)^k=\frac{1}{2} \times 2x\times \frac{(2x)^n-1}{2x-1}=x\times \frac{(2x)^n-1}{2x-1}$
$(Bx+I)^n=x\times \frac{(2x)^n-1}{2x-1} B$
Dans les questions 3 et 4 j'ai pris $n$ entier naturel non nul comme dans la question 2
Re: Besoin d'aide Monsieur Job
Bonjour
Exercice 6
1. Soit $x\in Im (f-\beta I)$. Il existe $y\in E\ /\ x=f(y)-\beta y=(f-\beta I)(y)$
$(f-\alpha I)(x)=(f-\alpha I)(f-\beta I)(y)=0$ car par hypothèse $(f-\alpha I)(f-\beta I)=0$
Donc $x\in Ker (f-\alpha I)$ d'où $Im (f-\beta I)\subset Ker (f-\alpha I)=F_{\alpha}$
Même démonstration pout l'autre inclusion.
2. Soit $x\in E$, $(f-\beta I) (x)=x_1$ donc $x_1\in Im(f-\beta I)$ et $f(x)=\beta x +x_1$
De même avec $x_2=(f-\alpha I)(x)$ on a $f(x)=\alpha x +x_2$
On en déduit : $(\alpha -\beta )x =x_1-x_2$ soit $x=\frac{1}{\alpha -\beta} x_1- \frac{1}{\alpha -\beta} x_2$
Avec $x_1\in Im (f-\beta I)\subset F_{\alpha}$ et $x_2\in Im (f-\alpha I)\subset F_{\beta}$
Donc $E={F_\alpha} +F_{\beta}$
Soit $x\in F_{\alpha}\cap F_{\beta}$. On a donc $f(x)=\alpha x =\beta x$.
$(\alpha -\beta )x=0$ or $\alpha \neq \beta$ donc $x=0$. La somme est donc directe.
J'essayerai de poursuivre demain
Exercice 6
1. Soit $x\in Im (f-\beta I)$. Il existe $y\in E\ /\ x=f(y)-\beta y=(f-\beta I)(y)$
$(f-\alpha I)(x)=(f-\alpha I)(f-\beta I)(y)=0$ car par hypothèse $(f-\alpha I)(f-\beta I)=0$
Donc $x\in Ker (f-\alpha I)$ d'où $Im (f-\beta I)\subset Ker (f-\alpha I)=F_{\alpha}$
Même démonstration pout l'autre inclusion.
2. Soit $x\in E$, $(f-\beta I) (x)=x_1$ donc $x_1\in Im(f-\beta I)$ et $f(x)=\beta x +x_1$
De même avec $x_2=(f-\alpha I)(x)$ on a $f(x)=\alpha x +x_2$
On en déduit : $(\alpha -\beta )x =x_1-x_2$ soit $x=\frac{1}{\alpha -\beta} x_1- \frac{1}{\alpha -\beta} x_2$
Avec $x_1\in Im (f-\beta I)\subset F_{\alpha}$ et $x_2\in Im (f-\alpha I)\subset F_{\beta}$
Donc $E={F_\alpha} +F_{\beta}$
Soit $x\in F_{\alpha}\cap F_{\beta}$. On a donc $f(x)=\alpha x =\beta x$.
$(\alpha -\beta )x=0$ or $\alpha \neq \beta$ donc $x=0$. La somme est donc directe.
J'essayerai de poursuivre demain
Re: Besoin d'aide Monsieur Job
Exercice 6 - question 3
Soit $x\in E$. Puisque $F_{\alpha}$ et $F_{\beta}$ sont supplémentaires, $x=x_1+x_2$ avec $x_1\in F_{\alpha}$ et $x_2\in F_{\beta}$
$p(x)=p(x_1)+p(x_2)=x_1+0$ par définition de la projection.
De même, $q(x)=q(x_1)+q(x_2)=0+x_2$
Donc $(p+q)(x)=x_1+x_2=x$ donc $p+q=Id$
$pq(x)=p(q(x))=p(x_2)=0$ et $qp(x)=q(p(x))=q(x_1)=0$
Soit $x\in E$. Puisque $F_{\alpha}$ et $F_{\beta}$ sont supplémentaires, $x=x_1+x_2$ avec $x_1\in F_{\alpha}$ et $x_2\in F_{\beta}$
$p(x)=p(x_1)+p(x_2)=x_1+0$ par définition de la projection.
De même, $q(x)=q(x_1)+q(x_2)=0+x_2$
Donc $(p+q)(x)=x_1+x_2=x$ donc $p+q=Id$
$pq(x)=p(q(x))=p(x_2)=0$ et $qp(x)=q(p(x))=q(x_1)=0$
Re: Besoin d'aide Monsieur Job
Bonjour Monsieur Bob je ne comprends pas quand vous dites que M-I=B un éclaircissement serait la bienvenue
Re: Besoin d'aide Monsieur Job
Bonjour
Vous avez raison, avec la matrice $M$ donnée, ça ne marche pas. Mais en voyant la suite des questions j'ai pensé qu'il y avait une faute dans le texte et que dans l'écriture de $M$, il fallait remplacer (-7) par (+7).
Désolé d'avoir oublié de signaler ma modification.
Vous avez raison, avec la matrice $M$ donnée, ça ne marche pas. Mais en voyant la suite des questions j'ai pensé qu'il y avait une faute dans le texte et que dans l'écriture de $M$, il fallait remplacer (-7) par (+7).
Désolé d'avoir oublié de signaler ma modification.