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Algèbre linéaire
Algèbre linéaire
Bonjour , j'ai besoin de votre aide pour résoudre cette question
Merci d'avance 
Re: Algèbre linéaire
Bonjour
On peut utiliser la définition : les 2 matrices sont semblables si il existe une matrice inversible $P$ telle que $J=P^{-1} DP$ soit encore $PJ=DP$
Soit $P=\left(\begin{matrix}x&y\\z&t\end{matrix}\right)$. Supposons qu'on ait l'égalité $PJ=DP$
$PJ=\left(\begin{matrix} ax+y&ay\\az+t&at\end{matrix}\right)$ et $DP=\left(\begin{matrix}\lambda x& \lambda y\\ \mu z& \mu t \end{matrix}\right)$
Plusieurs cas possibles.
1) $\lambda \neq a$ et $\mu \neq a$
De $ay=\lambda y$ et $at=\mu t$, on déduit $y=t=0$ puis en utilisant les premières colonnes $x=z=0$
$P$ serait la matrice nulle donc ne convient pas.
2) On fait le même type de calcul avec $\lambda =a$ et $\mu \neq a$ et de même avec $\lambda \neq a$ et $\mu=a$
3) $\lambda =\mu =a$; On obtient $y=t=0$. La matrice $P$ a un déterminant nul et n'est donc pas inversible.
On peut utiliser la définition : les 2 matrices sont semblables si il existe une matrice inversible $P$ telle que $J=P^{-1} DP$ soit encore $PJ=DP$
Soit $P=\left(\begin{matrix}x&y\\z&t\end{matrix}\right)$. Supposons qu'on ait l'égalité $PJ=DP$
$PJ=\left(\begin{matrix} ax+y&ay\\az+t&at\end{matrix}\right)$ et $DP=\left(\begin{matrix}\lambda x& \lambda y\\ \mu z& \mu t \end{matrix}\right)$
Plusieurs cas possibles.
1) $\lambda \neq a$ et $\mu \neq a$
De $ay=\lambda y$ et $at=\mu t$, on déduit $y=t=0$ puis en utilisant les premières colonnes $x=z=0$
$P$ serait la matrice nulle donc ne convient pas.
2) On fait le même type de calcul avec $\lambda =a$ et $\mu \neq a$ et de même avec $\lambda \neq a$ et $\mu=a$
3) $\lambda =\mu =a$; On obtient $y=t=0$. La matrice $P$ a un déterminant nul et n'est donc pas inversible.