Algèbre linéaire

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
Emma1994
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Algèbre linéaire

Message par Emma1994 » 03 décembre 2018, 22:40

Bonsoir , j'ai besoin d'aide pour cet exercice
Soit V ⊂ R[T] le sous espace de tout les polynômes de degré
deg(P) < = 3. On considère l'application
f : V → V, P −→ P' -> P".
Ici P'( T) est le derivé du polynôme P(T).
(i) calculez la Matrice A ∈ Mat4×4(R) de l'application linéaire par rapport à la monobase T0,. . . , T3 ∈ V sur.
(ii) Quel polynome P(T) ∈ V correspond à l'image (1, 2, 3, 4) ∈ lR
4 sous l'application linéaire ?
(iii) Trouvez un vecteur non trivial à partir du noyau de la dérivée non linéaire.

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Re: Algèbre linéaire

Message par Job » 04 décembre 2018, 10:31

Bonjour

Je ne suis pas très sûre du texte : A-t-on $f(P)=P'$ ou bien $f(P)=P"$ ?

Emma1994
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Re: Algèbre linéaire

Message par Emma1994 » 04 décembre 2018, 21:13

L'énoncé est mis dans la pièce jointe
Pièces jointes
IMG_20181204_200901.png
Image de l'énoncé
IMG_20181204_200901.png (9.5 Kio) Consulté 8480 fois

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Re: Algèbre linéaire

Message par Job » 05 décembre 2018, 15:14

Je n'avais pas compris qu'il y avait un signe "moins".

$f(T_0)=f(1)=0$
$f(T_1)=f(X)=1-0=T_0$
$f(T_2)=f(X^2)=2X-2=2T_1-2T_0$
$f(T_3)=f(X^3)=3X^2-6X=3T_2-6T_1$

Donc la matrice est $\left(\begin{matrix}0&1&-2&0\\0&0&2&-6\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$

Soit le polynôme $P=a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3$. Son image a pour coordonnées :

$\left(\begin{matrix}0&1&-2&0\\0&0&2&-6\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{matrix}\right)\ \left(\begin{matrix}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}a_1-2a_2\\2a_2-6a_3\\3a_2\\0\end{matrix}\right)$

Il est impossible d'avoir comme image (1,2,3,4) car l'image a toujours 0 comme dernière coordonnée.

Pour le noyau on doit avoir : $\left(\begin{matrix}a_1-2a_2\\2a_2-6a_3\\3a_2\\0\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right)$ ce qui conduit à $a_1=a_2=a_3=0$

Les polynômes du noyau sont donc les polynômes constants, le noyau est donc le sous-espace vectoriel engendré par le polynôme $T_0=1$.

Je ne savais pas trop ce que désignait "la dérivée non linéaire"

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