Bonjour!
Etant donnés deux vecteurs de R^3 et x le produit vectoriel ,comment trouver le carré de leur produit vectoriel (u x v)² ?
carré du produit vectoriel
Re: carré du produit vectoriel
Bonjour
Soit $(x_1,x_2,x_3)$ les coordonnées de $\overrightarrow u$ , $(y_1,y_2,y_3)$ les coordonnées de $\overrightarrow v$ et $\theta=(\overrightarrow u , \overrightarrow v)$
Le carré d'un vecteur est égal au carré de sa norme donc :
$(\overrightarrow u \times \overrightarrow v)^2=||\overrightarrow u||^2 ||\overrightarrow v||^2 \sin^2 \theta=||\overrightarrow u||^2 ||\overrightarrow v||^2(1-\cos^2 \theta)=||\overrightarrow u||^2 ||\overrightarrow v||^2-(||\overrightarrow u|| \cdot ||\overrightarrow v|| \cdot |\cos \theta|)^2$
soit $(\overrightarrow u \times \overrightarrow v)^2=||\overrightarrow u||^2 ||\overrightarrow v||^2-|\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v|^2$
En termes de coordonnées, on a donc :
$(\overrightarrow u \times \overrightarrow v)^2=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)-(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2$
(Si on part simplement des coordonnées du produit vectoriel, l'expression est un peu plus difficile à obtenir)
Soit $(x_1,x_2,x_3)$ les coordonnées de $\overrightarrow u$ , $(y_1,y_2,y_3)$ les coordonnées de $\overrightarrow v$ et $\theta=(\overrightarrow u , \overrightarrow v)$
Le carré d'un vecteur est égal au carré de sa norme donc :
$(\overrightarrow u \times \overrightarrow v)^2=||\overrightarrow u||^2 ||\overrightarrow v||^2 \sin^2 \theta=||\overrightarrow u||^2 ||\overrightarrow v||^2(1-\cos^2 \theta)=||\overrightarrow u||^2 ||\overrightarrow v||^2-(||\overrightarrow u|| \cdot ||\overrightarrow v|| \cdot |\cos \theta|)^2$
soit $(\overrightarrow u \times \overrightarrow v)^2=||\overrightarrow u||^2 ||\overrightarrow v||^2-|\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v|^2$
En termes de coordonnées, on a donc :
$(\overrightarrow u \times \overrightarrow v)^2=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)-(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2$
(Si on part simplement des coordonnées du produit vectoriel, l'expression est un peu plus difficile à obtenir)
Re: carré du produit vectoriel
Merci pour ta réponse!
Entre temps, j'ai fait le calcul suivant: (voir pj ; les vecteurs sont notés en caractères gras et les module en italiques)
Est-ce correcte?
Cordialement, Mikel!
Entre temps, j'ai fait le calcul suivant: (voir pj ; les vecteurs sont notés en caractères gras et les module en italiques)
Est-ce correcte?
Cordialement, Mikel!
Re: carré du produit vectoriel
Pas de problème, c'est exact.