Je viens de rédiger une méthode pour trouver l'intersection de deux cercles :
Intersection de deux cercles
Soit les deux cercles
CM de centre M(xM,yM) et de rayon MP
CN de centre N(xN,yN) et de rayon NP
P est un point d'intersection entre les deux cercles.On veut déterminer xP et yP.
On a :
(xM-xP)²+(yM-yP)² = MP² (1) ;
(xN-xP)²+(yN-yP)² = NP² (2)
On développe (1) :
(yM-yP)² = MP²- (xM-yP)²
Prenons la racine :
(yM-yP)=+/- √(MP²-(xM-xP)² )
Soit
yP=yM+/- √(MP²-(xM-xP)² )
On insère yP dans (2)
(xN-xP)²+(yN-{ yM+/- √(MP²-(xM-xP)² )})² = NP²
On développe :
xN²-2xNxP+xP²+(yN-yM)²+/-2(yN-yM)(√(MP²-(xM-xP)² ))+MP²-(xM-xP)²=NP²
On extrait la racine :
xN²-2xNxP+xP²+(yN-yM)²+MP²-xM²+2xMxP-xP²-NP²=+/-2(yN-yM)(√(MP²-(xM-xP)² ))
On regroupe les xP dans le côté gauche de l’égalité:
2xP(xM-xN)+xN²-xM²+(yN-yM)²+MP²-NP²
On définit une certaine constante A comme étant tout ce qui ne contient pas xP :
A=xN²-xM²+(yN-yM)²+MP²-NP²
On obtient donc :
2xP(xM-xN)+A=+/-2(yN-yM)(√(MP²-(xM-xP)² ))
On élève au carré :
(2xP(xM-xN)+A)²=4(yN-yM)²(MP²-(xM-xP)²)
Soit
4xP² (xM-xN)²+4AxP(xM-xN)+A²=4(yN-yM)² MP²-4(yN-yM)² (xM-xP)²
On développe :
4xP² (xM-xN)²+4AxP(xM-xN)+A²=4(yN-yM)² MP²-4(yN-yM)² xM²+8xMxP(yN-yM)²-4xP²(yN-yM)²
On regroupe selon les puissances de xP : xP², xP, et constante :
xP² [〖4(xM-xN)〗²+(yN-yM)² ]
+xP[4A(xM-xN)-2.xM.(yN-yM)² ]
+A²-4〖[(yN-yM)〗² MP²-4(yN-yM)² xM²]=0
On reconnaît une équation du deuxième degré avec inconnue xP.
Premier terme a = [〖4(xM-xN)〗²+(yN-yM)² ]
b= [4A(xM-xN)-2xM(yN-yM)² ]
c = +A²-4〖[(yN-yM)〗².MP²-4(yN-yM)² xM²]
On cherche Δ = b² - 4.a.c
Puis racine de delta
Enfin on trouve les racines de l'équation :
xP'=(-b-√Δ)/2a
et
xP"=(-b+√Δ)/2a
On calcule les ordonnées des points d’intersection en prenant l’équation du cercle :
(yM-yP)=+/- √(MP²-(xM-xP)² )
Et on remplace xP par sa valeur, soit xP' :
yP'=yM+/- √(MP²-(xM-xP')² )
Soit xP"
yP"=yM+/- √(MP²-(xM-xP")² )