Nombres complexes

[drebouin]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire sur les complexes et à vrai dire je bloque un peu.

J'ai cette équation $z^2-2az+b=0$, z1 et z2 sont des racines complexes.

En premier je dois trouvé z1+z2, j'ai trouvé $2a$ et z1z2 et j'ai trouvé $b$, les deux en fonction des coefficients a et b.

Ensuite on suppose que $|z1|=|z2|$ et il faut écrire sous forme exponentielle z1 et z2 puis déduire la forme exponentielle de $\frac{a^2}{b}$ et ensuite conclure que $\frac{a^2}{b}$ est réelle et appartient à l'intervalle $]0,1]$

Et après montrer réciproquement que si $\frac{a^2}{b}$ appartient à $]0,1]$ alors $|z1|=|z2|$

Pour la deuxième partie, c'est pareil sauf que c'est avec les arguments.

J'ai montré que $\sqrt{xy} <= \frac{x+y}{2}$ et après il faut mettre une nouvelle fois z1 et z2 sous forme exponentielle et prouver que $\frac{b}{a^2}$ appartient bien à $]0,1]$
Encore une nouvelle fois montrer que si $\frac{b}{a^2}$ appartient bien à $]0,1]$ alors Arg(z1)=arg(z2)

Pouvez-vous me donner des indices pour me débloquer s'il vous plaît ?

Merci d'avance

[Job]

Bonsoir

Soit $z_1=re^{i\theta_1}$ et $z_2=re^{i\theta_2}$

$\frac{4a^2}{b}=\frac{(z_1+z_2)^2}{z_1z_2}=\frac{(re^{i\theta_1}+re^{i\theta_2})^2}{r^2e^{i(\theta_1+\theta_2)}}=\frac{e^{2i\theta_1}+e^{2i\theta_2} +2e^{i(\theta_1+\theta_2)}}{e^{i(\theta_1+\theta_2)}}$

$\frac{4a^2}{b}=(e^{2i\theta_1}+e^{2i\theta_2} +2e^{i(\theta_1+\theta_2)})(e^{-i(\theta_1+\theta_2)})=e^{i(\theta_1-\theta_2)}+e^{i(\theta_2-\theta_1)}+2=2\cos (\theta_1-\theta_2)+2$

$\frac{a^2}{b}=\frac{1}{2}(\cos (\theta_1-\theta_2)+1)$
Il s'agit donc bien d'un réel qui appartient à l'intervalle $]0,1]$ (Pour éliminer 0, il faudrait que dans le texte on précise a non nul. Est-ce bien le cas ?)

Pour la deuxième partie que sont x et y ?

[drebouin]

Bonsoir merci beaucoup.

Oui en effet a est considéré comme non nul tout comme b et y et x sont des réels positifs.

[drebouin]

Bonjour, personne ne peux m'aider pour la suite s'il vous plait ?

[Job]

Pour la question 2, la méthode est assez identique.

$\frac{b}{a^2}=\frac{4z_1z_2}{(z_1+z_2)^2}=\frac{4r_1e^{i\theta}r_2e^{i\theta}}{(r_1+r_2)^2e^{2i\theta}}=\frac{4r_1r_2}{(r_1+r_2)^2}$

$r_1$ et $r_2$ étant des nombres positifs, de l'inégalité que vous avez démontrée on déduit que $0<4r_1r_2\leq (r_1+r_2)^2$. Donc $\frac{b}{a^2}\in ]0,1]$

Réciproquement

$\Delta=4a^2 (1-\frac{b}{a^2})$ avec $1-\frac{b}{a^2} \in [0,1[$

$z_1=a(1-\sqrt{1-\frac{b}{a^2}})$ $z_2=a(1+\sqrt{1+\frac{b}{a^2}})$

$(1-\sqrt{1-\frac{b}{a^2}})(1+\sqrt{1-\frac{b}{a^2}})=\frac{b}{a^2}>0$. Ces 2 nombres sont donc de même signe, tous deux positifs.

Par conséquent $z_1$ et $z_2$ ont même argument que $a$.

[Job]

Réciproque pour la première partie.

De $\frac{a^2}{b}$ réel on déduit que $\frac{(z_1+z_2)^2}{z_1z_2}=\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1} +2$ est réel.

Donc $\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}+\frac{r_2}{r_1} e^{i(\theta_2-\theta_1)}$ est réel égal à son conjugué.

$\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}+\frac{r_2}{r_1} e^{i(\theta_2-\theta_1)}=\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_2-\theta_1)}+\frac{r_2}{r_1}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$

$(\frac{r_1}{r_2} -\frac{r_2}{r_1})e^{i(\theta_1-\theta_2)}+(\frac{r_2}{r_1}-\frac{r_1}{r_2})e^{i(\theta_2-\theta_1)}=0$

$(\frac{r_1}{r_2} -\frac{r_2}{r_1})(e^{i(\theta_1-\theta_2)}-e^{i(\theta_2-\theta_1)})=0$

$(\frac{r_1}{r_2} -\frac{r_2}{r_1})(2i\sin (\theta_1-\theta_2))=0$

Donc $\frac{r_1}{r_2}=\frac{r_2}{r_1}$ soit $r_1=r_2$

($\sin (\theta_1-\theta_2)=0$ conduit à $a=0$)