urgent et la promis pour les math c finit les question

[tetedefe]

je ne comprend pas c exercices et j'ai bientot les partielle mercredi

[tetedefe]

ctrès urgent

[tetedefe]

ul faudrait me donner une correction au plus vite non car lac sur c la derniere chose avec c deux sujet après j'ai partiel math mercredi

[Job]

Bonjour

Exercice 30

1. La matrice de passage de la base $B$ à la base $B'$ a comme vecteurs colonnes les coordonnées des vecteurs de $B'$ dans la base $B$ donc :
$P=\left(\begin{matrix}2&3\\-1&2\end{matrix}\right)$

2. Les coordonnées de $u$ et $v$ dans la base $B$ sont celles qui sont données dans le texte.

$u$ et $v$ formant la base de $B'$, leurs coordonnées dans la base $B'$ sont respectivement (1 , 0) et (0 , 1).

3. Quand on fait un changement de repère avec $P$ matrice de passage de la base $B$ à la base $B'$, on a la relation : $X=PX'$ qui donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles donc, avec $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$ coordonnées de $w$ dans $B'$, on a :
$\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2x+3y\\-x+2y\end{matrix}\right)$
On résout le système : $\left\{\begin{array}{rcl}2x+3y&=&1\\-x+2y&=&1\end{array}\right.$. Ce qui donne $\left(\begin{matrix} x\\y\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} -\frac{1}{7}\\ \frac{3}{7}\end{matrix}\right) $

4. Il faut calculer les images de $u$ et $v$ dans la base $B'$.
On commence par les calculer dans la base $B$ : $h_{B} (u) =\left(\begin{matrix}2&5\\-3&4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} 2\\-1\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} -1\\10\end{matrix}\right)$
Puis on procède comme dans la question précédente ce qui amène à résoudre le système : $\left\{\begin{array}{rcl}2x+3y&=&-1\\-x+2y&=&-10\end{array}\right.$
Ce qui donne $\left(\begin{matrix} x\\y\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} 4\\ -3\end{matrix}\right) $

On fait le même travail avec le vecteur $v$.
On obtient : $h_{B} (v) = \left(\begin{matrix} 16\\-1\end{matrix}\right)$ et $h_{B'} (v)=\left(\begin{matrix} 5\\2\end{matrix}\right)$.

Donc $M'=\left(\begin{matrix}4&5\\-3&2\end{matrix}\right)$

5. À savoir $M'=P^{-1}MP$

6. $det\ (P)=2\times 2 - (-1)\times 3=7$
Comatrice de $P$ : $\left(\begin{matrix}2&1\\-3&2\end{matrix}\right)$. Transposée de cette comatrice : $\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)$
Donc $P^{-1}=\frac{1}{7}\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)$
Je ne sais pas si vous avez vu cette méthode.

On fait alors le calcul $P^{-1}MP$ et obtient le même résultat que dans la question 4.

Y-a-t'il des points qui vous posent des problèmes ?

[Job]

Exercice 31

1. Les vecteurs $v$ et $w$ ne sont pas colinéaires de manière évidente.
La famille $B$ comprenant 3 vecteurs dans un espace de dimension 2 ne peut pas être une base.
On montre que le vecteur $u$ est une combinaison linéaire des vecteurs $v$ et $w$.
$\lambda v +\mu w =(-\lambda -\mu )e_1+\mu e_2$
$u=(-\lambda -\mu )e_1+\mu e_2 \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}-\lambda -\mu &=& 3\\\mu&=&1\end{array} \right.$
Soit $\lambda =-4$ et $\mu =1$ donc $u=-4v+w$ ce qui prouve à nouveau que la famille $B$ est liée et ne peut donc pas être une base.

$g(-4v+w) =-4g(v)+g(w)=-4(f_2-f_3+f_1+2f_2=f_1-2f_2+4f_3\neq g(u)$ donc l'application $g$ n'est pas linéaire.

2) $h(v)$ et $h(w)$ ne sont pas colinéaires et en reprenant le calcul précédent et en remplaçant $g$ par $h$, on a bien $h(u)=h(4v+w)$ donc il existe une application linéaire et une seule vérifiant les conditions.

3. Il faut déterminer $h(e_1)$ et $h(e_2)$ qui donneront les colonnes de la matrice $A$
$e_1=-v$ donc $h(e_1)=-h(v)=0f_1-f_2+f_3$
$e_2=w-v$ donc $h(e_2)=h(w)-h(v)=f_1+2f_2-f_2+f_3=f_1+f_2+f_3$
$A=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&1\\1&1\end{matrix}\right)$

[tetedefe]

jusque les explications que vous donnez sont parfaite , il ne reste plus qu'a m'explique le 31 et 32 et les question de mon sujet précédent en tut cas merci et bonne année

[Job]

Exercice 32

1. (a) Les colonnes de la matrice sont les coordonnées des images des 3 vecteurs $e_1,\ e_2,\ e_3$ de la base canonique de ${\mathbb R}^{3}$ :
$\left(\begin{matrix}1&0&1\\0&1&1\end{matrix}\right)$

(b) Avec $e'_1,\ e'_2$ base canonique de ${\mathbb R}^2$, on a $\left\{\begin{array}{rcl}w_1&=&e'_2\\w_2&=&e'_1+e'_2\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}e'_1&=&-w_1+w_2\\e'_2&=&w_1\end{array}\right.$
$f(v_1)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)=2e'_2=2w_1$
$f(v_2)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)=2e'_1=-2w_1+2w_2$
$f(v_3)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$
Matrice de $f$ : $\left(\begin{matrix}2&-2&0\\0&2&0\end{matrix}\right)$

2. (a) $\left(\begin{matrix}1&0&1\\0&-1&1\end{matrix}\right)$

(b) On a $\left\{\begin{array}{rcl}v_1&=&-e_1+e_2+e_3\\v_2&=&e_1-e_2+e_3\\v_3&=&e_1+e_2-e_3\end{array}\right.$ d'où on déduit $\left\{\begin{array}{rcl} e_1&=&\frac{1}{2}(v_2+v_3)\\e_2&=&\frac{1}{2}(v_1+v_3)\\e_3&=&\frac{1}{2}(v_1+v_2)\end{array}\right.$

$g(e_1)=\frac{1}{2} (g(v_2)+g(v_3))=\frac{1}{2} w_1=\frac{1}{2}(e'_2)$
$g(e_2)=\frac{1}{2} (g(v_1)+g(v_3))=\frac{1}{2} (2w_1+w_2)=\frac{1}{2}(e'_1+3e'_2)$
$g(e_3)=\frac{1}{2} (g(v_1)+g(v_2))=\frac{1}{2} (w_1-w_2)=\frac{1}{2} (-e'_1)$
Ce qui donne comme matrice : $\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}0&1&-1\\1&3&0\end{matrix}\right)$

(c) $g(x)=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}0&1&-1\\1&3&0\end{matrix}\right)\ \left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}(x_2-x_3)\\ \frac{1}{2} (x_1+3x_2)\end{matrix}\right)$