aide urgent 3 exercice

[tetedefe]

pour le premiere exercice juste la derniere partie pour le second juste les 3 exercices du milieu et aussi quelle est la dimension du sev (1;2)

[tetedefe]

pour le premier exercice il me faut la coresction complete et pour le second juste celle du 2;3;4

[Job]

Bonjour

Exercice 27

1. $A x=\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&-1&0\end{matrix}\right)\ \left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}x_1+x_2+x_3\\x_1-x_2\end{matrix}\right)$
Les coefficients des coordonnées constituent les lignes de la matrice.

2. $\varphi (0,0,0)=(0,0)$
$\varphi (x)+\varphi (y) = \left(\begin{matrix}x_1+x_2+x_3\\x_1-x_2\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}y_1+y_2+y_3\\y_1-y_2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)\\(x_1+y_1)-(x_2+y_2)\end{matrix}\right)=\varphi (x+y)$
$\varphi (ax)=\left(\begin{matrix}ax_1+ax_2+ax_3\\ax_1-ax_2\end{matrix}\right)=a\left(\begin{matrix}x_1+x_2+x_3\\x_1-x_2\end{matrix}\right)=a\varphi (x)$
Donc $\varphi$ est linéaire.

3. $u=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$ ; $v=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$ ; $w=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$

$\varphi (x) =x_1u+x_2v+x_3w$

4. Il doit manquer quelque chose dans cette question car la matrice $A$ est la matrice de $\varphi$ dans les bases canoniques.

[tetedefe]

ne pas oublier la question qui n'est pa sur lre pdf mais que j'aié crit en haut non car je voudrait aussi savoir comme on trouve la dimrension d'un sev

[Job]

ne pas oublier la question qui n'est pa sur lre pdf mais que j'aié crit en haut non car je voudrait aussi savoir comme on trouve la dimrension d'un sev

La dimension d'un sous-espace vectoriel est égale au nombre d' éléments d'une quelconque de ses bases . Si, par exemple le sous-espace est engendré par 2 vecteurs non colinéaires alors le sous-espace vectoriel est de dimension 2.

Exercice 22

2. $K^2=N$ ; $JK=K$ donc $(JK)^2=N$ ; $KJ=-K$ donc $(KJ)^2=N$
Toute combinaison linéaire de $K$ et de $JK$ a donc un carré nul. Il en existe une infinité.

Soit $M$ une matrice ayant un carré nul et $\delta$ son déterminant.
Le déterminant d'un produit de matrices est égal au produit des déterminants des matrices donc le déterminant de $M^2$ est égal à $\delta^2$.
$M^2$ étant la matrice nulle, $\delta^2=0$ donc $\delta=0$ et $M$ ayant un déterminant nul n'est pas inversible.

3. $J^2=I$ et $(J+3K)^2=I$
Tout produit d'un nombre quelconque de matrices $J$ et $J+3K$ a donc pour carré la matrice identité.

Avec les mêmes notations que dans la question 2, Si $M$ a pour carré la matrice identité, $\delta^2=1$ donc $\delta \neq 0$ et par conséquent $M$ est inversible.

4. $Q^2=-I$ ; $JQJ =\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right)$ et $(JQJ)^2=-I$
Tout produit d'un nombre impair de facteurs $Q$ et $JQJ$ est donc égal à $-I$