j'aimerais comprendre la méthode pour répondre a cette exercice
Dans R2, on considère les bases C ={(1; 0),(0 ;1)} et B ={(2; 3),(1; 2)}. Soit A=(2; 1)( 0; 3)et f : R2 →R2 l’application linéairedéfiniepar f (x)=Ax.Soit v levecteurde R2 dontlescoordonnéesdanslabase B sont[v]B =(1 ;−1).
1. DéterminerlesquatresmatricesMC,C (f ),MB,C (f ),MC,B(f )etMB,B(f )réprésentant f lorsqu’onmunit sesespacesdedépartetd’arrivéesuccessivementdesdifférentesbasesconsidérées.
2. Déterminerlescoordonnées[f (v)]B de f (v)danslabase B,puissescoordonnées[f (v)]C danslabase C.
aide urgent application linéaire
Re: aide urgent application linéaire
Bonjour
J'ai quelques problèmes pour comprendre.
Par exemple, la matrice $A$ est-elle : $\left(\begin{matrix}2&1\\0&3\end{matrix}\right)$ ou bien $\left(\begin{matrix}2&0\\1&3\end{matrix}\right)$
Ne pouvez-vous pas scanner le texte donné ou en faire une photo avec votre portable. Ce serait plus clair.
J'ai quelques problèmes pour comprendre.
Par exemple, la matrice $A$ est-elle : $\left(\begin{matrix}2&1\\0&3\end{matrix}\right)$ ou bien $\left(\begin{matrix}2&0\\1&3\end{matrix}\right)$
Ne pouvez-vous pas scanner le texte donné ou en faire une photo avec votre portable. Ce serait plus clair.
Re: aide urgent application linéaire
c =(1 0 b= (2 1 a=(2 1
0 1) 3 2) 0 3)
0 1) 3 2) 0 3)
Re: aide urgent application linéaire
Je ne comprends pas non plus les notations de la question 1.
Re: aide urgent application linéaire
voila l'exercice
- Pièces jointes
-
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Re: aide urgent application linéaire
1) J'ai un petit problème avec les notations qui ne sont pas toujours les mêmes suivant les ouvrages c'est-à-dire que $M_{B,C}$ peut désigner la matrice de passage de $B$ à $C$ ou le contraire de $C$ à $B$.
La matrice dans la base $C$ est la matrice $Id$, la matrice de passage de la base $C$ à la base $B$ est $P=\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)$ (coordonnées des vecteurs de $B$ dans $C$).
En inversant cette matrice (je ne sais pas quelle méthode vous avez vue) on a la matrice de passage de la base $B$ à la base $C$ :
$P^{-1}=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)$
$M_{C,C} (f)$ est la matrice $A$
Je poursuis plus tard
La matrice dans la base $C$ est la matrice $Id$, la matrice de passage de la base $C$ à la base $B$ est $P=\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)$ (coordonnées des vecteurs de $B$ dans $C$).
En inversant cette matrice (je ne sais pas quelle méthode vous avez vue) on a la matrice de passage de la base $B$ à la base $C$ :
$P^{-1}=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)$
$M_{C,C} (f)$ est la matrice $A$
Je poursuis plus tard
Re: aide urgent application linéaire
$M_{B,C}(f)=P\ A =\left(\begin{matrix}7&4\\9&6\end{matrix}\right)$
$M_{C,B}(f)=P^{-1}\ A =\left(\begin{matrix}4&-1\\-6&3\end{matrix}\right)$
Il peut y avoir inversion entre ces 2 réponses compte tenu de ma remarque du début.
$M_{B,B} (f)=P^{-1}AP=\left(\begin{matrix}5&2\\-3&0\end{matrix}\right)$
2) $f(V)=M_{B,B}(f)\cdot V=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$ dans la base $B$.
Dans la base $C$ : $\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\ \left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$
$M_{C,B}(f)=P^{-1}\ A =\left(\begin{matrix}4&-1\\-6&3\end{matrix}\right)$
Il peut y avoir inversion entre ces 2 réponses compte tenu de ma remarque du début.
$M_{B,B} (f)=P^{-1}AP=\left(\begin{matrix}5&2\\-3&0\end{matrix}\right)$
2) $f(V)=M_{B,B}(f)\cdot V=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$ dans la base $B$.
Dans la base $C$ : $\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\ \left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$
Re: aide urgent application linéaire
pourrais je avoir un peu plus de précision sur les calculs non car j'ai presque fini mes révisions en math pour le partiel et j'avoue avoir le cerveau en compote et c'est peut etre la derniere chose que j'ai a savoir merci
Re: aide urgent application linéaire
Bonjour
J'appelle $e_1,\ e_2$ les vecteurs colonnes de $C$, $f_1,\ f_2$ les vecteurs colonnes de $B$.
On a : $\left\{\begin{array}{rcl}f_1&=&2e_1+3e_2\\f_2&=&e_1+2e_2\end{array}\right.$ Ce qui donne la matrice de passage $P$ de $C$ à $B$
Et par inversion : $\left\{\begin{array}{rcl}e_1&=&2f_1-3f_2\\e_2&=&-f_1+2f_2\end{array}\right.$. Ce qui donne la matrice de passage $P^{-1}$ de $B$ à $C$
$A=M_{C,C}$ est la matrice de $f$ dans la base canonique,ce qui se traduit par $f(e_1)=2e_1$ et $f(e_2)=e_1+3e_2$
Si $M_{B,C}$ désigne la matrice de $f$ avec un vecteur de départ dans la base $B$ et un vecteur d'arrivée dans la base $C$, il faut exprimer $f(f_1)$ et $f(f_2)$ dans la base $C$
$f(f_1)=2f(e_1)+3f(e_2)=2(2e_1)+3(e_1+3e_2)=7e_1+9e_2$
$f(f_2)=f(e_1)+2f(e_2)=2e_1+2(e_1+3e_2)=4e_1+6e_2$
La matrice est donc $\left(\begin{matrix}7&4\\9&6\end{matrix}\right) = P\cdot A$
Si $M_{C,B}$ désigne la matrice de $f$ avec un vecteur de départ dans la base $C$ et un vecteur d'arrivée dans la base $B$, il faut exprimer $f(e_1)$ et $f(e_2)$ dans la base $B$ donc en fonction de $f_1$ et $f_2$
$f(e_1)=2e_1=2(2f_1-3f_2)=4f_1-6f_2$
$f(e_2)=e_1+3e_2=(2f_1-3f_2)+3(-f_1+2f_2)=-f_1+3f_2$
La matrice est donc $\left(\begin{matrix}4&-1\\-6&3\end{matrix}\right) =P^{-1}\cdot A$
À savoir : Si on a la matrice A d'une application linéaire dans une base B, la matrice de passage $P$ de la base $B$ à la base $B'$, alors dans la base $B'$, l'application linéaire a pour matrice $P^{-1}AP$
On applique pour avoir $M_{B,B}(f)$
2) De manière générale à savoir : soit $u$ un vecteur, $X_1$ ses coordonnées dans une base $B_1$, $X_2$ ses coordonnées dans une base $B_2$, $P_{1,2}$ la matrice de passage de $B_1$ à $B_2$ alors $X_1=P_{1,2}X_2$
On a calculé les coordonnées de $f(v)\ :\ (3,-3) $ dans la base $B$ , en appliquant ce résultat, les coordonnées de $f(V)$ dans la base $C$ sont égales à : $P\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$
J'appelle $e_1,\ e_2$ les vecteurs colonnes de $C$, $f_1,\ f_2$ les vecteurs colonnes de $B$.
On a : $\left\{\begin{array}{rcl}f_1&=&2e_1+3e_2\\f_2&=&e_1+2e_2\end{array}\right.$ Ce qui donne la matrice de passage $P$ de $C$ à $B$
Et par inversion : $\left\{\begin{array}{rcl}e_1&=&2f_1-3f_2\\e_2&=&-f_1+2f_2\end{array}\right.$. Ce qui donne la matrice de passage $P^{-1}$ de $B$ à $C$
$A=M_{C,C}$ est la matrice de $f$ dans la base canonique,ce qui se traduit par $f(e_1)=2e_1$ et $f(e_2)=e_1+3e_2$
Si $M_{B,C}$ désigne la matrice de $f$ avec un vecteur de départ dans la base $B$ et un vecteur d'arrivée dans la base $C$, il faut exprimer $f(f_1)$ et $f(f_2)$ dans la base $C$
$f(f_1)=2f(e_1)+3f(e_2)=2(2e_1)+3(e_1+3e_2)=7e_1+9e_2$
$f(f_2)=f(e_1)+2f(e_2)=2e_1+2(e_1+3e_2)=4e_1+6e_2$
La matrice est donc $\left(\begin{matrix}7&4\\9&6\end{matrix}\right) = P\cdot A$
Si $M_{C,B}$ désigne la matrice de $f$ avec un vecteur de départ dans la base $C$ et un vecteur d'arrivée dans la base $B$, il faut exprimer $f(e_1)$ et $f(e_2)$ dans la base $B$ donc en fonction de $f_1$ et $f_2$
$f(e_1)=2e_1=2(2f_1-3f_2)=4f_1-6f_2$
$f(e_2)=e_1+3e_2=(2f_1-3f_2)+3(-f_1+2f_2)=-f_1+3f_2$
La matrice est donc $\left(\begin{matrix}4&-1\\-6&3\end{matrix}\right) =P^{-1}\cdot A$
À savoir : Si on a la matrice A d'une application linéaire dans une base B, la matrice de passage $P$ de la base $B$ à la base $B'$, alors dans la base $B'$, l'application linéaire a pour matrice $P^{-1}AP$
On applique pour avoir $M_{B,B}(f)$
2) De manière générale à savoir : soit $u$ un vecteur, $X_1$ ses coordonnées dans une base $B_1$, $X_2$ ses coordonnées dans une base $B_2$, $P_{1,2}$ la matrice de passage de $B_1$ à $B_2$ alors $X_1=P_{1,2}X_2$
On a calculé les coordonnées de $f(v)\ :\ (3,-3) $ dans la base $B$ , en appliquant ce résultat, les coordonnées de $f(V)$ dans la base $C$ sont égales à : $P\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$