aide urgent algébre linéaire application linéaire

[tetedefe]

Je cherche les méthodes pour réusssir ces exercices
Soit b'1 = (2,0,0), b'2 =( −1,1,1), b'3 =( 0,1,−1)et v =(0,1,1)quatre vecteurs de R3et f : R3 → R2
l’application d´efinie par f(x) =−x2+x32x2pour tout x =( x1,x2,x3)∈ R3. On note B = {b1, b2, b3} la base canonique de R3et
w = b1 + b2 − b3.


1. Donner les coordonn´ees de b2 dans B.
2. Donner les coordonn´ees de w dans B.
3. V´erifier que B' = {b'1, b'2, b'3} est une base de R3
.4. D´eterminer la matrice de passage P de B `a B'
et la matrice de passage Q de B' `a B.
5. Quelles sont les coordonn´ees de v dans B'
?
6. Quelles sont les coordonn´ees de w dans B'
?
7. Montrer que f est une application lin´eaire.
8. D´eterminer la matrice A repr´esentant f quand on munit R3 de B et R
2 de sa base canonique.
9. (a) Calculer les vecteurs f(b'1), f(b'2) et f(b'3).
(b) En d´eduire la matrice A'
repr´esentant f quand on munit R3 de B'
et R2 de sa base canonique.
(c) Comment peut-on calculer A' `a partir des matrices A et P ?

[Job]

Bonjour

l’application d´efinie par f(x) =−x2+x32x2pour tout x =( x1,x2,x3)∈ R3.

Je ne comprends pas l'écriture de $f(x)=-x_2+x_3$??? Pouvez-vous la réécrire.

[tetedefe]

je ne l'avait pas vu la faute d'écriture alors c'est f(x)=(-x2+x3)/2x2

[Job]

1. Coordonnées de $b_2$ dans $B$ : (0,1,0)

2. Coordonnées de $w$ sans $B$ : (1,1,-1).

3. Comme il y a 3 vecteurs dans un espace de dimension 3, il suffit de montrer que c'est une partie libre.
Soit la combinaison : $\alpha b'_1+\beta b'_2+\gamma b'_3=\alpha(2,0,0)+\beta(-1,1,1)+\gamma(0,1,-1)=(2\alpha -\beta ,\beta +\gamma,\beta-\gamma)$
Cette combinaison linéaire est nulle si et seulement si : $\left\{\begin{array}{rcl}2\alpha -\beta&=&0\\ \beta+\gamma&=&0\\ \beta-\gamma&=&0\end{array}\right.$
Ce qui conduit immédiatement à $\alpha =\beta =\gamma =0$
C'est donc bien une partie libre donc une base.

4. Les colonnes de $P$ sont les coordonnées des vecteurs de $B'$ dans la base $B$ donc $P=\left(\begin{matrix}2&-1&0\\0&1&1\\0&1&-1\end{matrix}\right)$

Pour $Q$, il faut déterminer les coordonnées des vecteurs de $B$ dans la base $B'$
On a le système $\left\{\begin{array}{rcl}b'_1&=&2b_1\\b'_2&=&-b_1+b_2+b_3\\b'_3&=&b_2-b_3\end{array}\right.$
Ce qui donne : $\left\{\begin{array}{rcl}b_1&=&\frac{1}{2} b'_1\\b_2&=&\frac{1}{4} b'_1+\frac{1}{2} b'_2+\frac{1}{2} b'_3\\b_3&=&\frac{1}{4} b'_1+\frac{1}{2} b'_2-\frac{1}{2} b'_3\end{array} \right.$
Soit $Q=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$

5. Coordonnées de $v$ dans $B'$
$Qv=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\ \left(\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\1\\0\end{matrix}\right)$

6. Coordonnées de $w$ dans $B'$
$Qw=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\ \left(\begin{matrix}1\\1\\-1\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\0\\1\end{matrix}\right)$

[Job]

Vous avez défini $f$ par $f(x)=\frac{-x_2+x_3}{2x_2}$ cela définit une application de ${\mathbb R}^2$ (car $x_1$ n'intervient pas) et dans $\mathbb R$.
Or, à la question 8, $f$ apparaît comme une application de ${\mathbb R}^3$ dans ${\mathbb R}^2$
Il y a une erreur quelque part.

[tetedefe]

merci deja
pourriez s'il vous plait expliquez aussi pour le 1 et le 2 , non car je ne comprend vraiment pas et je vais vérifier si il n'y apas une erreur

[tetedefe]

voici comment paparait le copier coller à l'original avec quelque modification si j'ai fait une ereur dans la corectin la premiere fois ici elle n'y est plus
Soit b'1 =2 0 0 b'2 = −1 1 1 b'3 =0 1−1 et v = 0 1 1

quatre vecteurs de R
3
et f : R
3 → R
2
l’application d´efinie par f(x) =
(−x2+x3
2)/x2

pour tout x =
x1
x2
x3

∈ R
3
. On note B = {b1, b2, b3} la base canonique de R
3
et
w = b1 + b2 − b3.

[Job]

1) Par définition de la base canonique dans ${\mathbb R}^3$, $b_1=(1,0,0)\ ;\ b_2=(0,1,0)\ ;\ b_3=(0,0,1)$

2) On a alors $w=(1,0,0)+(0,1,0)-(0,0,-1)=(1,1,-1)$

Par contre, pour la fonction $f$ ça ne va toujours pas. Si vous avez bien recopié le texte, il faudrait voir avec votre professeur car ce n'est pas cohérent.

[tetedefe]

en tout cas merci les explications sont comme je les aimes assez précise et donner vite