Effectivement c'est l'équation caractéristique.anonyme a écrit :
Exercice 1 :
1. Cela revient à résoudre : $2r^{2} + 2r - 3 = 0$ (comment appelle-t-on ce passage ? L'équation caractéristique ?)
Il manque la variable $x$ sans le cosinus et le sinus.3. On se retrouve à calculer :
$2r^{2} + 9 = 0$
Donc 2 solutions $r_{1}$ et $r_{2}$ dans $\mathbb{C}$ :
$r_{1} = -\overline{r_{2}} = i \frac{3}{\sqrt{2}}$
Donc :
$y(x) = C_{1}cos(\frac{3}{\sqrt{2}}) + C_{2}sin(\frac{3}{\sqrt{2}})$ avec $(C_{1}, C_{2})\in \mathbb{R^{2}}$
La question n'a de sens que si $1+x>0$ si non l'intégrale n'est pas définie.B. $ \int \ln(x+1) dx = x\ln(x+1) - x + \ln( |x+1|) + K$ avec $K\in \mathbb{R}$
(la valeur absolue ici, est-elle indispensable dans le deuxième ln ? Ne suis-je pas automatiquement limité par les valeurs de x du premier ln ? Je peux quand même factoriser par ce terme ?)
Puisqu'il y a des bornes, l'intégrale est un nombre donc il n'y a qu'un seul résultat possible.C. Je pose : $u = 2.e^{2x} + 2$ on a : $du = 4e^{2x} dx$
$\int_{0}^{2} \frac{e^{2x}}{2.e^{2x} + 2} dx = \frac{1}{4}\ln (\frac{e^4 + 1}{2})$
(peut-on obtenir des résultats légèrement différents si on effectue un autre (d'autres ?) changement de variable ?)
Par contre de manière générale, dans un calcul de primitive, on peut obtenir des résultats différents du fait de la constante.
Je n'ai pas d'autres remarques, tout est exact.