Divisibilité dans Z.. Urgent !!!!

[wadjo'tanni]

Bonjour, j'espere que vous allez bien, j'ai besoin de votre appui pour expliciter mes compréhensions sur ces questions que j'arrive pas vraiment a démontrer, je crois que je m'embrouille. C'est urgent s'il vous plait j'ai besoin de comprendre avant ma composition qui aura lieu ce lundi.. Merci beaucoup !!


1. Si a divise b et c, alors c2(carre)-2b est multiple de a.
2. Si 4 ne divise pas bc, alors b ou c est impair.
3. Si 12 divise b2(carre), alors 4 divise b.
4. Si 12 divise b2(carre), alors 36 divise b2.
5.Si 91 divise ab, alors 91 divise a ou 91

[Job]

Bonjour et bienvenue sur le site.

1) Si $a$ divise $b$ et $c$ alors, il existe 2 entiers relatifs $m$ et $n$ tels que $b=am$ et $c=an$
On a alors $c^2-2b=a^2n^2-2am = a(an-2m)$ donc $a$ divise $c^2-2b$

2) Une démonstration par l'absurde :
Si $b$ et $c$ sont tous deux pairs alors $b=2b'$ et $c=2c'$ donc $bc =4b'c'$ ce qui signifie que 4 divise $bc$ en contradiction avec l'hypothèse. donc l'un des deux, au moins, $b$ ou $c$ est impair.

3) Cette proposition est fausse.
Contre-exemple : soit $b=18$ alors $b^2=324= 12\times 27$ donc 12 divise $b^2$ mais 4 ne divise pas $b$.

4) 12 divise $b^2$ donc $b^2=2^2\times 3 \times a$ ($a\in {\mathbb Z}$)
Dans un carré, tous les facteurs premiers ont un exposant pair donc $a$ contient le facteur premier 3 soit $a=3\times c^2$ et $b^2=2^2\times 3^2 \times c^2$.
$b^2$ est donc divisible âr $2^2\times 3^2 =36$

5) Je suppose qu'il y a une erreur de frappe et que la bonne proposition est : "si 91 divise $ab$ alors 91 divise $a$ ou $b$".
Si c'est bien ça alors c'est faux.
Contre-exemple : si $a=14$ et $b=13$ alors $ab=182 =2\times 91$ donc 91 divise $ab$ mais ne divise ni $a$ ni $b$.

Par contre si la proposition est : ""si 91 divise $ab$ alors 13 divise $a$ ou $b$" est vraie.
Car $ab=91\times c =7\times 13 \times c$
13 est premier donc si il divise $ab$ alors il divise $a$ ou $b$. (conséquence du théorème de Gauss)

[wadjo'tanni]

Merci beaucoup Mr Job, et pour la dernière proposition effectivement vous avez raison car elle etait pas juste il manquait ' divise a ou b' à la fin.. Encore merci !
Si possible je pourrais savoir comment montrer que : ln(2)/ln(4) est rationnel ou irrationnel ???

[Job]

Merci beaucoup Mr Job, et pour la dernière proposition effectivement vous avez raison car elle etait pas juste il manquait ' divise a ou b' à la fin.. Encore merci !
Si possible je pourrais savoir comment montrer que : ln(2)/ln(4) est rationnel ou irrationnel ???

$\ln 4 =\ln (2^2)=2\ln 2$ donc $\frac{\ln 2 }{\ln 4}=\frac{\ln 2}{2\ln 2} =\frac{1}{2}$ donc $\frac{\ln 2}{\ln 4}$ est rationnel.

[wadjo'tanni]

Merci Mr Job, je suis maintenant apte pour ma composition grâce à votre aide à très vite !!!