Bonjour, j'aimerais de l'aide pour ces exercices. MERCI D'AVANCE.
EXERCICE 1
En utilisant le théorème chinois,résoudre dans $Z^{2}$ le système:
x≡7 mod 12
x≡6 mod 19
EXERCICE 2
Calculer $5^{87}$ mod 41 de deux manières différentes.
EXERCICE 3
Montrer que l'ensemble des éléments inversibles de Z/8Z est un groupe. Z est l'ensemble des entiers relatifs.
EXERCICE 4
1) Considérons l'anneau Z/25Z. Dites si oui ou non 12 est inversible dans Z/25Z. Si oui déterminer son ordre.
2) Déterminer l'inverse modulo 17 de 13; 4; 1; 6
ARITHMETIQUE
Re: ARITHMETIQUE
Bonjour
Exercice 1
$x=7+12 a\ (a\in {\mathbb Z})$
En remplaçant dans l'autre congruence : $7+12 a =6+19 b\ (b\in {\mathbb Z})$ soit $19 b -12 a =1$
On détermine une solution particulière par l'algorithme d' Euclide :
$19 = 1\times 12 +7\ ;\ 12=1\times 7+5\ ;\ 7=1\times 5 +2\ ;\ 5=2\times 2 +1$
$1=5-2\times 2 = 5-2(7-5)=3\times 5 -2\times 7 =3(12-7)-2\times 7 =3\times 12 -5\times 7$
$1=3\times 12 -5(19-12)=-5\times 19 +8\times 12$
$\left\{\begin{array}{rcl}1&=&19 b -12 a \\ 1&=&19\times (-5)-12\times (-8)\end{array}\right.$
Par soustraction : $0=19(b+5)-12(a+8)$ soit $19(b+5)=12(a+8)$
19 est premier avec 12 donc 19 divise $a+8$ soit $a=19 k-8\ (k\in {\mathbb Z})$
Donc $x=7+12(19k-8)=-89+228 k $ soit $x\equiv -89 [228]\equiv 139\ [228]$
Exercice 1
$x=7+12 a\ (a\in {\mathbb Z})$
En remplaçant dans l'autre congruence : $7+12 a =6+19 b\ (b\in {\mathbb Z})$ soit $19 b -12 a =1$
On détermine une solution particulière par l'algorithme d' Euclide :
$19 = 1\times 12 +7\ ;\ 12=1\times 7+5\ ;\ 7=1\times 5 +2\ ;\ 5=2\times 2 +1$
$1=5-2\times 2 = 5-2(7-5)=3\times 5 -2\times 7 =3(12-7)-2\times 7 =3\times 12 -5\times 7$
$1=3\times 12 -5(19-12)=-5\times 19 +8\times 12$
$\left\{\begin{array}{rcl}1&=&19 b -12 a \\ 1&=&19\times (-5)-12\times (-8)\end{array}\right.$
Par soustraction : $0=19(b+5)-12(a+8)$ soit $19(b+5)=12(a+8)$
19 est premier avec 12 donc 19 divise $a+8$ soit $a=19 k-8\ (k\in {\mathbb Z})$
Donc $x=7+12(19k-8)=-89+228 k $ soit $x\equiv -89 [228]\equiv 139\ [228]$
Re: ARITHMETIQUE
Exercice 2
$87=2^6+2^4+2^2+2^1+2^0$ soit en binaire $1010111$
Par l'algorithme de calcul rapide avec $a=5$ et modulo 41 :
1) $p=1\times 5\ ;\ a=5^2=25$
2) $p=5\times 25\equiv 2\ ;\ a=25^2\equiv 10$
3) $p=2\times 10 =20\ ;\ a=10^2\equiv 18$
4) $p$ inchangé = 20 ; $a=18^2\equiv 37$
5) $p=20\times 37 \equiv 2\ ;\ a=37^2\equiv 16$
6) $p$ inchangé $\equiv 2 \ ;\ a=16^2\equiv 10$
7) $p=2\times 10 =20$
Donc $5^{87}=20\ [41]$
$5^3\equiv 2$ donc $5^{87}=5^{3\times 29}\equiv 2^{29}$
$2^7=128\equiv 5$ donc $2^{29}=(2^7)^4\times 2\equiv 5^4\times 2\equiv 10\times 2 =20$
$87=2^6+2^4+2^2+2^1+2^0$ soit en binaire $1010111$
Par l'algorithme de calcul rapide avec $a=5$ et modulo 41 :
1) $p=1\times 5\ ;\ a=5^2=25$
2) $p=5\times 25\equiv 2\ ;\ a=25^2\equiv 10$
3) $p=2\times 10 =20\ ;\ a=10^2\equiv 18$
4) $p$ inchangé = 20 ; $a=18^2\equiv 37$
5) $p=20\times 37 \equiv 2\ ;\ a=37^2\equiv 16$
6) $p$ inchangé $\equiv 2 \ ;\ a=16^2\equiv 10$
7) $p=2\times 10 =20$
Donc $5^{87}=20\ [41]$
$5^3\equiv 2$ donc $5^{87}=5^{3\times 29}\equiv 2^{29}$
$2^7=128\equiv 5$ donc $2^{29}=(2^7)^4\times 2\equiv 5^4\times 2\equiv 10\times 2 =20$
Re: ARITHMETIQUE
Exercice 3
L'ensemble des inversibles de ${\mathbb Z}/8{\mathbb Z}=G=\{1,3,5,7\}$
1 est inversible
Si $x$ et $y$ sont inversibles alors $(xy)(y^{-1}x^{-1})=x(yy^{-1})x^{-1}=x1x^{-1}=1$ donc $xy$ est inversible.
Si $x$ est inversible alors son inverse est inversible.
$G$ est donc un groupe et chaque élément est son propre inverse.
Exercice 4
1) 12 est premier avec 25 donc 12 est inversible dans ${\mathbb Z}/25{\mathbb Z}$
Le groupe des inversibles de $({\mathbb Z}/25{\mathbb Z})^*$ comprend 20 éléments donc l'ordre de 12 divise 20.
$12^2\equiv 19 ;\ 12^4\equiv 11\ ;\ 12^5\equiv 7\ ;\ 12^{10}\equiv 7^2\equiv (-1)\ ;\ 12^{20}\equiv (-1)^2\equiv 1$
Donc 12 est d'ordre 1.
2) $1=4\times 13 -3\times 17$ donc l'inverse de 13 modulo 17 est 4 et l'inverse de 4 est 13.
l'inverse de 1 est 1.
$1=3\times 6 -17$ donc l'inverse de 3 modulo 17 est 6.
L'ensemble des inversibles de ${\mathbb Z}/8{\mathbb Z}=G=\{1,3,5,7\}$
1 est inversible
Si $x$ et $y$ sont inversibles alors $(xy)(y^{-1}x^{-1})=x(yy^{-1})x^{-1}=x1x^{-1}=1$ donc $xy$ est inversible.
Si $x$ est inversible alors son inverse est inversible.
$G$ est donc un groupe et chaque élément est son propre inverse.
Exercice 4
1) 12 est premier avec 25 donc 12 est inversible dans ${\mathbb Z}/25{\mathbb Z}$
Le groupe des inversibles de $({\mathbb Z}/25{\mathbb Z})^*$ comprend 20 éléments donc l'ordre de 12 divise 20.
$12^2\equiv 19 ;\ 12^4\equiv 11\ ;\ 12^5\equiv 7\ ;\ 12^{10}\equiv 7^2\equiv (-1)\ ;\ 12^{20}\equiv (-1)^2\equiv 1$
Donc 12 est d'ordre 1.
2) $1=4\times 13 -3\times 17$ donc l'inverse de 13 modulo 17 est 4 et l'inverse de 4 est 13.
l'inverse de 1 est 1.
$1=3\times 6 -17$ donc l'inverse de 3 modulo 17 est 6.