Bonjour!
Comment démontrer que le coefficient binomial (p,i) est
1) un entier
2) divisible par p ?
coefficient binomial
Re: coefficient binomial
Bonjour
Je suppose que dans la question $p$ est premier.
${p\choose i}=\frac{p!}{i!\times (p-i-1)!}=\frac{p\times (p-1)!}{i\times (i-1)!\times (p-i-1)!}=\frac{p}{i}\times {{p-1}\choose {i-1}}$
Donc $i\times {p\choose i}=p\times {{p-1}\choose {i-1}}$
$p$ divise donc $i\times {p\choose i}$ or si $p$ est premier, $p$ est premier avec $i$ donc d'après le théorème de Gauss $p$ divise $p\choose i$
Je suppose que dans la question $p$ est premier.
${p\choose i}=\frac{p!}{i!\times (p-i-1)!}=\frac{p\times (p-1)!}{i\times (i-1)!\times (p-i-1)!}=\frac{p}{i}\times {{p-1}\choose {i-1}}$
Donc $i\times {p\choose i}=p\times {{p-1}\choose {i-1}}$
$p$ divise donc $i\times {p\choose i}$ or si $p$ est premier, $p$ est premier avec $i$ donc d'après le théorème de Gauss $p$ divise $p\choose i$