trouver le chiffre des unités

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
Jon83
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trouver le chiffre des unités

Message par Jon83 » 22 octobre 2019, 14:35

Trouver le chiffre des unités de la somme S=1^2+2^2+...+n^2 .
Je sais que S=n(n+1)(n+2)/6 ! mais ensuite ???

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Re: trouver le chiffre des unités

Message par Job » 23 octobre 2019, 16:11

Bonjour

Il y a une erreur dans l'égalité écrite. La bonne égalité est :

$\displaystyle 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

La question posée est-elle isolée ou bien y-a-t'il des questions préalables ?

Jon83
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Re: trouver le chiffre des unités

Message par Jon83 » 23 octobre 2019, 17:17

Bonsoir!
L'énoncé exact est :
On se propose de déterminer le chiffre des unités du nombre S=1²+2²+3²+...+n²
1) On suppose n=2022.
a)déterminer le chiffre des unités de la somme 1²+2²+3²+...+10² , puis le chiffre des unités de la somme 1²+2²+3²+...+2020²
b) en déduire le chiffre des unités de la somme S.

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Re: trouver le chiffre des unités

Message par Job » 28 octobre 2019, 11:44

Bonjour

Un entier $n$ peut s'écrire sous la forme $n=10x+u$, $u$ étant le chiffre des unités

$n^2=(10x+u)^2=100x^2 +20xu +u^2=10(10x^2+2xu)+u^2$ donc $n^2$ a comme chiffre des unités celui de $u^2$

Par exemple $11^2+12^2+\cdots +20^2$ a même chiffre des unités que $1^2+2^2+\cdots +10^2=S_{10}$

$S_{10}$ a 5 comme chiffre des unités donc $S_{20}$ comme chiffre des unités celui de 5+5 soit 0.

$2020 =202\times 10$ donc $S_{2020}$ a comme chiffre des unités celui de 202 fois 5 soit 0

$S_{2022}=S_{2020}+2021^2+2022^2$ a comme chiffre des unités 0 + 1 + 4 = 5

(On peut vérifier ces résultats avec l'égalité écrite plus haut)

Ceci est une méthode qui permet d'obtenir $S_n$ lorsque $n$ est connu mais qui ne donne pas le résultat en fonction de $n$.
Je ne sais pas si c'est ce qui est demandé, de plus l'égalité donnant $S_n$ est plus commode

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