$\int_0^\infty {\left[ {f(x)} \right]} ^2 dx$

[lesolitaire]

Bonjour,

Si $\int_0^\infty {f(x)}dx $ définie sur l’intervalle qu’en est-il de $\int_0^\infty {\left[ {f(x)} \right]} ^2 dx$

[Job]

Bonjour

Non, un exemple classique : soit la fonction $f$ définie par $f(t)=\frac{1}{\sqrt t}$ sur ]0 , 1] et $f(t)=0$ sur $]1 , +\infty[$

$\int_x^1 \frac{1}{\sqrt t} dt =[2\sqrt t]_x^1=2-2\sqrt x$ et $\lim_{x\to 0}( 2-2\sqrt x)=2$ donc $\int_0^{+\infty} f(t) dt$ est définie.

$\int_x^1\frac{1}{t} dt =[\ln t]_x^1=0-\ln x$ et $\lim_{x\to 0} (-\ln x) =+\infty$ donc $\int_0^{+\infty} [f(t)]^2 dt$ diverge.

[lesolitaire]

bien sur, merci

à partir de

$\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin x}}
{x}} = \frac{\pi }
{2}$


j’aurais voulu en déduire rapidement

$\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin ^2 x}}
{{x^2 }}} = $

[Job]

$\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2} dx =\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos 2x}{2x^2} dx$

$\int_0^{+\infty}\frac{\sin 2x}{x} dx = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt=\frac{\pi}{2}$

En faisant une intégration par parties avec comme primitive de $\sin 2x$ la fonction $\frac{1-\cos 2x}{2}$, on obtient ;
$\int_0^{+\infty}\frac{\sin 2x}{x} dx = \left[\frac{1-\cos 2x}{2x}\right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos 2x}{x^2} dx$

$\left[\frac{1-\cos 2x}{2x}\right]_0^{+\infty}=0$ et on en déduit que $\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx =\frac{\pi}{2}$