Somme de cos

[lesolitaire]

Bonjour;

démontrer

$\eqalign{
& S = \cos 2a + \cos 4a + \cos 6a + \cos 8a + \cos 10a + \cos 12a + \cos 14a + \cos 16a = - \frac{1}
{2} \cr
& {\text{pour }}a = \frac{\pi }
{{17}} \cr
& {\text{je me suis servi la relation }}\sin p + \sin q = 2\sin \frac{{p + q}}
{2}\cos \frac{{p - q}}
{2}{\text{ pour faire resortir que des sinus}} \cr
& {\text{en \'e crivant S = }}\frac{{{\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}}}
{{{\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}}}\left( {\cos 2\frac{\pi }
{{17}} + \cos 4\frac{\pi }
{{17}} + \cos 6\frac{\pi }
{{17}} + \cos 8\frac{\pi }
{{17}} + \cos 10\frac{\pi }
{{17}} + \cos 12\frac{\pi }
{{17}} + \cos 14\frac{\pi }
{{17}} + \cos 16\frac{\pi }
{{17}}} \right) \cr
& \frac{1}
{{{\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}}}\left( {{\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}\cos 2\frac{\pi }
{{17}} + {\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}\cos 4\frac{\pi }
{{17}} + {\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}\cos 6\frac{\pi }
{{17}} + {\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}\cos 8\frac{\pi }
{{17}} + {\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}\cos 10\frac{\pi }
{{17}} + {\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}\cos 12\frac{\pi }
{{17}} + {\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}\cos 14\frac{\pi }
{{17}} + {\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}\cos 16\frac{\pi }
{{17}}} \right) \cr
& \frac{1}
{{{\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}}}\left( {(\sin \frac{{3\pi }}
{{17}} - {\text{sin}}\frac{\pi }
{{17}}) + ({\text{sin}}\frac{{5\pi }}
{{17}} - {\text{sin}}\frac{{3\pi }}
{{17}})...................................... + (\sin \frac{{17\pi }}
{{17}} - \sin \frac{{15\pi }}
{{17}})} \right) \cr
& {\text{apr\`e s simplication termes \`a termes}} \cr
& {\text{S = }}\frac{1}
{{{\text{2sin}}\frac{\pi }
{{17}}}}\left( { - {\text{sin}}\frac{\pi }
{{17}}....} \right) = - \frac{1}
{2} \cr} $

Je sais qu'il y a une solution plus élégante avec les formules d'Euler, que je voudrai bien connaitre.

Merci

[Job]

Bonjour

Je ne sais pas si c'est la solution attendue mais voilà ce que j'ai trouvé.

$S=\frac{1}{2}[(e^{i2a}+\cdots +e^{i16a})+(e^{-i2a}+\cdots +e^{-i16a})]$
Il s'agit de sommes de termes de suites géométriques
$e^{i2a}+\cdots +e^{i16a}=e^{i2a}\times \frac{1-(e^{i2a})^8}{1-e^{i2a}}=e^{i\frac{2\pi}{17}}\times \frac{1-e^{i\frac{16\pi}{17}}}{1-e^{i\frac{2\pi}{17}}}=e^{i\frac{2\pi}{17}}\times \frac{1+e^{i\frac{-\pi}{17}}}{1-e^{i\frac{2\pi}{17}}}$
$=\frac{e^{i\frac{\pi}{17}}(e^{i\frac{\pi}{17}}+1)}{(1-e^{i\frac{\pi}{17}})(1+e^{i\frac{\pi}{17}})}=\frac{e^{i\frac{\pi}{17}}}{1-e^{i\frac{\pi}{17}}}$

De même la deuxième somme est égale à $\frac{e^{-i\frac{\pi}{17}}}{1-e^{-i\frac{\pi}{17}}}$

$\frac{e^{i\frac{\pi}{17}}}{1-e^{i\frac{\pi}{17}}}+\frac{e^{-i\frac{\pi}{17}}}{1-e^{-i\frac{\pi}{17}}}=\frac{e^{i\frac{\pi}{17}}-1+e^{-i\frac{\pi}{17}}-1}{1-e^{-i\frac{\pi}{17}}-e^{i\frac{\pi}{17}}+1}=-1$
D'où le résultat en multipliant par $\frac{1}{2}$

Votre méthode était astucieuse et il y en a sans doute d'autres encore.

[lesolitaire]

Merci pour le développement.

Sur qu'il a d'autres méthodes et sommes avec les mêmes propriétées.

$\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21} +\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=\frac12$.