Bonjour,
Nous avons travaillé sur cet exercice que je n'arrive pas du tout à comprendre, pourriez vous m'aider svp ;
On pose A = ( 0 0 0 1) et B = (0 0 1 0 )
Vérifier que A^2 - B^2 est différent de (A - B) (A + B) et (A + B)^2 n'est pas égal à A^2 - 2AB + B^2
Plus généralement A et B étant des matrices carrées d'ordre n , développer (A - B ) (A + B) et (A + B)^2
A quelle condition retrouve on deux identités remarquables bien connues dans IR et IC?
exercice matrice
Re: exercice matrice
Bonsoir
Ce sont toujours le même genre de calcul, je ne comprends pas très bien pourquoi tu as des difficultés dans la question a).
a) $A^2=\left(\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}\right)$ ; $B^2=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}\right)$ donc $A^2-B^2=A^2$
$A-B=\left(\begin{matrix}0&0\\-1&1\end{matrix}\right)$ ; $A+B=\left(\begin{matrix}0&0\\1&1\end{matrix}\right)$ donc $(A-B)(A+B)=\left(\begin{matrix}0&0\\1&1\end{matrix}\right)$
On a donc bien $(A^2-B^2 \neq (A-B)(A+B)$
$(A+B)^2=\left(\begin{matrix}0&0\\1&1\end{matrix}\right)$
$AB=\left(\begin{matrix}0&0\\1&0\end{matrix}\right)$ ; $A^2+2AB+B^2=\left(\begin{matrix}0&0\\2&1\end{matrix}\right)$
$(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$
b) Pour développer, attention, il n'y a pas de commutativité. On multiplie terme à terme.
$(A-B)(A+B)=A^2+AB-BA-B^2$ ; $(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$
$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ si et seulement si $AB-BA=0$ soit $AB=BA$
$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ si et seulement si $BA=AB$
Les identités remarquables ne s'appliquent pas au produit de matrices. On ne les retrouve que si les 2 matrices commutent.
Ce sont toujours le même genre de calcul, je ne comprends pas très bien pourquoi tu as des difficultés dans la question a).
a) $A^2=\left(\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}\right)$ ; $B^2=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}\right)$ donc $A^2-B^2=A^2$
$A-B=\left(\begin{matrix}0&0\\-1&1\end{matrix}\right)$ ; $A+B=\left(\begin{matrix}0&0\\1&1\end{matrix}\right)$ donc $(A-B)(A+B)=\left(\begin{matrix}0&0\\1&1\end{matrix}\right)$
On a donc bien $(A^2-B^2 \neq (A-B)(A+B)$
$(A+B)^2=\left(\begin{matrix}0&0\\1&1\end{matrix}\right)$
$AB=\left(\begin{matrix}0&0\\1&0\end{matrix}\right)$ ; $A^2+2AB+B^2=\left(\begin{matrix}0&0\\2&1\end{matrix}\right)$
$(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$
b) Pour développer, attention, il n'y a pas de commutativité. On multiplie terme à terme.
$(A-B)(A+B)=A^2+AB-BA-B^2$ ; $(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$
$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ si et seulement si $AB-BA=0$ soit $AB=BA$
$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ si et seulement si $BA=AB$
Les identités remarquables ne s'appliquent pas au produit de matrices. On ne les retrouve que si les 2 matrices commutent.