Transformée de Laplace

[youcef-ait]

Bonjour $Job$,


Je ne sais pas si c'est une notion que vous avez vu en mathématiques, enfin moi elle fait partie d'une matière qui se nomme "automatique", donc si vous avez déjà croisé cette transformée, je ne sais pas si cet exercice est un piège :



Les théorèmes sont :

$VI$ : $\lim_{p \to\infty} p\, X(p) $

$VF$ : $\lim_{p \to\ 0} p\, X(p) $

Il faut aussi que le degré du numérateur soit inférieur au degré du dénominateur.
Il faut aussi que les pôles soient réels.

Si j'applique $VI$ :

$ \lim_{p \to\infty} p\, X(p) $ = $\lim_{p \to\ 0} \frac{ \; p²}{p² + \omega² }$

Il me semble que $\frac{ \; p}{p² + \omega² }$ est la transformée de Laplace de la fonction $cos(\omega t)$, donc il y a forcement de l'imaginaire qui se cache derrière tout ça, mais je n'arrive pas à le trouver dans l'expression même..

[Job]

Bonjour Youcef-ait

Une réponse sans certitude et après quelques recherches sur internet.

J'ai vu 2 calculs possibles pour la VI : $\lim_{p\to +\infty} pX(p)=\lim_{t\to 0} f(t)$
$\lim_{p\to +\infty} pX(p)=\lim_{p\to +\infty} \frac{p^2}{p^2}=1$
D'autre part $f(t)=\cos (\omega t)$ et $\lim_{t\to 0} \cos (\omega t)=1$
Donc cela me semble cohérent.

Pour la valeur finale = $\lim_{p\to 0} pX(p)=\lim_{t\to +\infty} f(t)$
Or quand $t$ tend vers $+\infty$, le $cos$ n'a pas de limite donc je dirais que la valeur finale n'existe pas.

[youcef-ait]

Ah oui... Bien évidemment j'avais oublié le lien avec $t$, merci d'avoir pris le temps pour cette recherche.