Espace vectoriel.

[Jean37]

Bonjour,j'ai fais cet exercice,mais je me demandais si j'ai bien rédigé.
Le voici:

1)Montrer que les ensembles suivants sont des R-sev(sous espaces vectoriels) de IR² (avec (IR²,+,.)IR-ev):
F = {(x, y) ∈ IR2|2x + 3y = 0} et G = {(x, y) ∈ IR2|x − y = 0}.
2)Montrer que les ensembles suivant sont des IR-sev de IR3:
H = {(x, y, z) ∈ IR3|x + 2y − z = 0}; I = {(x, y, z) ∈ IR3|x = y};
J = {(x, y, z) ∈ IR3|x + y − z = 0 et x − y + 2z = 0}.
3)Dire si les ensembles suivants sont des sev de IR2.
F1 = {(x1, x2) ∈ IR2|x1 = 1} et F2 = {(x1, x2) ∈ IR|x2 = 0}.

Et voici ce que j'ai fais:
En 1)
On sait que $0_R^2$(l'élément neutre)=(0,0) ∈ F car 2*0+3*0=0.
Ensuite,vérifions si F est stable pour "+"(l'addition).
Donc Soient $ X=(x1,x2)∈ F et Y=(y1,y2)$ ∈ F.
Montrons que X+Y ∈ F.
$X=(x1,x2)∈ F<=>2x1+3x2=0$
$Y=(y1,y2)$...=0
Puis $X+Y$=$(x1,x2)+(y1,y2)$= $(x1+y1,x2+y2)et 2(x1+y1)+3(x2+y2)=(2x1+y1)+3(x2+y2)=0+0=0 donc X+Y $ appartient à F,F est stable pour +.
Ensuite concernant "x" ,la multiplication,Soit w ∈ IR et X=(x1,x2),wX=w(x1,x2) et 2(wx1)+3(wx2)=w(2x1+3x2)=w*0=0 donc wX ∈ F.
Et c'est la même chose pour G,
x=y,donc on peut dire " soient X=(x,y) et Y(x,y) X+Y=(x,y)+(x,y)=(x+x,y+y) et (x-y)+(x-y)=0+0=0 donc F est stable pour +.
Concernant la multiplication "x" wX= w(x,y)=(wx,wy) et wx-wy=w(x-y)=w*0=0.
Je rédigerais le reste après vu que l'exo est long,ne répond pas aux autres questions stp^^.

[Job]

Bonjour

C'est bon et c'est rédigé correctement.

[Jean37]

Merci pour ton aide
Et voici ce que j'ai rédigé pour le 2):
"2)Montrer que les ensembles suivant sont des IR-sev de IR3:
H = {(x, y, z) ∈ IR3|x + 2y − z = 0}; I = {(x, y, z) ∈ IR3|x = y};
J = {(x, y, z) ∈ IR3|x + y − z = 0 et x − y + 2z = 0}.
3)Dire si les ensembles suivants sont des sev de IR2.
F1 = {(x1, x2) ∈ IR2|x1 = 1} et F2 = {(x1, x2) ∈ IR|x2 = 0}."

On sait que $0_R^3$(l'élément neutre)=(0,0,0) ∈ H car *0+2*0-0=0.
Ensuite,vérifions si H est stable pour "+"(l'addition).
Donc Soient $ X=(x1,x2,x3)$∈ H et $Y=(y1,y2,y3)$ ∈ H.
Montrons que X+Y ∈ H.
$X=(x1,x2,x3)∈ H<=>x1+2x2-x3=0$
$Y=(y1,y2,y3)...= 0 $.

Puis $X+Y$=$(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)= (x1+y1,x2+y2,x3+y3)$.
Et $(x1+y1)+2(x2+y2)-(x3+y3)=(x1+y1)+2(x2+y2)-1(x3+y3)=0+2*0-0=0 $ donc X+Y appartient à H,H est stable pour +.

Ensuite concernant "x" ,la multiplication,Soit w ∈ IR et $X=(x1,x2,x3),wX=w(x1,x2,x3)$ et $(wx1)+(wx2)-(wx3)=w(x1+2x2-x3)=w*0=0$ donc wX ∈ H.
Puis,pour le I,on peut dire que $0_R^3$ ∈ I car 0=0.

Ensuite,soit $X=(x,y)$ et $Y=(x,y)$,
vérifions si I est stable pour "+"(l'addition).
Donc Soient $ X=(x,y)∈ I$ et $Y=(x,y)$ ∈ I.
Montrons que X+Y ∈ I.
$X=(x,y)∈ I<=>x=y$ ou $x-y=0$
$Y=(x,y)...=0$.

Puis $X+Y$=$(x,y)+(x,y)$= $(x+x,y+y)$ et $(x+x)-(y+y)=0-0=0 donc X+Y $ appartient à I,I est stable pour +.
Ensuite concernant "x" ,la multiplication,Soit w ∈ IR et X=(x,y),wX=w(x,y) et (wx)-(wy)-=w(x-y)=w*0=0 donc wX ∈ I.
Mais est-ce bon?
Après j'ai du mal avec le J et la question 3.(voir message précédent).

[Job]

2) Pour $J$ ce n'est pas plus compliqué que pour les précédents mais il y a 2 relations à vérifier au lieu d'une seule.
* 0+0-0=0 et 0-0+20=0 donc (0,0,0) appartient à $J$
* Additivité : soit $X_1=(x_1,y_1,z_1)\in J$ et $X_2=(x_2,y_2,z_2)\in J$. $X_1+X_2=(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$
$(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=(x_1+y_1-z_1)+(x_2+y_2-z_2)=0+0=0$
$(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+2(z_1+z_2)=(x_1-y_1+2z_1)+(x_2-y_2+2z_2)=0+0=0$
Donc $X+Y=(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)\in J$
* Soit $X=(x,y,z)\in J$ et $w\in {\mathbb R}$. $wX=(wx,wy,wz)$
$wx+wy-wz=w(x+y-z)=0$ et $wx-wy+2wz=w(x-y+2z)=0$ donc $wX\in J$

3) $(0,0)$ ne vérifie pas $x_1=1$ donc $F_1$ n'est pas un sous espace vectoriel de ${\mathbb R}^2$

* (0,0) vérifie $x_2=0$ donc $(0,0) \in F_2$
* soit $X=(x_1,x_2)\in F_2$ et $Y=(y_1,y_2)\in F_2$. $X+Y=(x_1+y_1,x_2+y_2)$
$x_2=0$ et $y_2=0$ donc $x_2+y_2=0$. Par conséquent $X+Y\in F_2$.
* Soit $X=(x_1,x_2)\in F_2$ et $w\in {\mathbb R}$. $wX=(wx_1,wx_2)$
$x_2=0$ donc $wx_2=0$. Par conséquent $wX\in F_2$.
$F_2$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb R}^2$

[Jean37]

Merci encore;)